Постройте диаграмму функции: f(x)=x^2-8x+7. Используя график, определите: 1) множество значений функции; 2) интервал

Semen

58

Хорошо, давайте решим эту задачу по шагам.

1) Множество значений функции:
Чтобы определить множество значений функции, нужно построить график функции \(f(x)=x^2-8x+7\). Для построения графика можно использовать несколько методов, включая построение таблицы значений и построение графика в системе координат.

Для начала, вычислим значения функции для нескольких различных значений \(x\). Давайте возьмем несколько значений \(x\) и найдем соответствующие значения функции \(f(x)\):

\[f(0) = 0^2 - 8 \cdot 0 + 7 = 7\]
\[f(1) = 1^2 - 8 \cdot 1 + 7 = 0\]
\[f(2) = 2^2 - 8 \cdot 2 + 7 = -1\]
\[f(3) = 3^2 - 8 \cdot 3 + 7 = 0\]
\[f(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 7 = 1\]
\[f(5) = 5^2 - 8 \cdot 5 + 7 = 2\]

Теперь давайте построим график функции \(f(x)\) в системе координат:


Смотря на график, видно, что множество значений функции состоит из всех действительных чисел от \(-\infty\) до пиковой точки графика на высоте \(2\), и от этой точки до \(+\infty\).

2) Интервал возрастания функции:
Чтобы найти интервал возрастания функции, нужно определить, на каких участках графика функция возрастает. Это можно сделать, найдя значения \(x\), для которых \(f"(x)>0\), где \(f"(x)\) - производная функции \(f(x)\).

Давайте найдем производную функции \(f(x)\):
\[f"(x) = \frac{d}{dx} (x^2 - 8x + 7) = 2x - 8\]

Теперь найдем значения \(x\), при которых \(f"(x)>0\):
\[2x - 8 > 0\]
\[2x > 8\]
\[x > 4\]

Итак, функция \(f(x)\) возрастает на интервале \(x > 4\).

3) Множество решений неравенства \(f(x)=0\):
Чтобы найти множество решений неравенства \(f(x)=0\), нужно найти значения \(x\), при которых \(f(x)=0\).

Давайте решим уравнение \(f(x)=0\):
\[x^2 - 8x + 7 = 0\]

Мы можем решить это уравнение, используя факторизацию или квадратное уравнение, однако в данном случае удобнее воспользоваться квадратными формулами:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В нашем случае:
\[a = 1, b = -8, c = 7\]

Подставим значения в формулу:
\[x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}\]
\[x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}\]
\[x = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2}\]
\[x = \frac{8 \pm 6}{2}\]

Теперь найдем два значения \(x\):
\[x_1 = \frac{8 + 6}{2} = 7\]
\[x_2 = \frac{8 - 6}{2} = 1\]

Таким образом, множество решений неравенства \(f(x)=0\) состоит из двух чисел: \(1\) и \(7\).

Надеюсь, это полное пошаговое решение поможет вам лучше понять данную задачу.