Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая пересекает график только в одной точке

Siren_9683

58

Конечно, я могу помочь вам с этой задачей. Для начала, давайте разберемся, что такое график функции. График функции представляет собой визуальное изображение зависимости значений функции от ее аргументов. В данной задаче нам необходимо построить график и понять, при каких значениях прямая пересекает график только в одной точке.

Для определения этого, первым шагом необходимо построить график функции и прямую на координатной плоскости. Пусть задана функция \(y = f(x)\) и прямая \(y = kx + b\), где \(k\) - коэффициент наклона прямой, а \(b\) - ее смещение.

Чтобы построить график функции, нужно выбрать несколько значений аргумента \(x\) и соответствующие значения функции \(y = f(x)\), а затем отметить точки на координатной плоскости, соответствующие выбранным значениям.

После построения графика функции, мы будем сравнивать его с прямой \(y = kx + b\) и искать точки пересечения. Если прямая пересекает график только в одной точке, то значит, что уравнение \(f(x) = kx + b\) имеет только одно решение.

Для примера, рассмотрим функцию \(f(x) = x^2\) и прямую \(y = 2x - 1\).

1. Найдем несколько значений для функции \(f(x)\) и прямой \(y\). Например, выберем значения -2, -1, 0, 1 и 2:
Для функции \(f(x)\):
При \(x = -2\) получаем \(f(-2) = (-2)^2 = 4\),
При \(x = -1\) получаем \(f(-1) = (-1)^2 = 1\),
При \(x = 0\) получаем \(f(0) = 0^2 = 0\),
При \(x = 1\) получаем \(f(1) = 1^2 = 1\),
При \(x = 2\) получаем \(f(2) = 2^2 = 4\).

Для прямой \(y = 2x - 1\):
При \(x = -2\) получаем \(y = 2(-2) - 1 = -5\),
При \(x = -1\) получаем \(y = 2(-1) - 1 = -3\),
При \(x = 0\) получаем \(y = 2(0) - 1 = -1\),
При \(x = 1\) получаем \(y = 2(1) - 1 = 1\),
При \(x = 2\) получаем \(y = 2(2) - 1 = 3\).

2. Построим график функции \(f(x) = x^2\) и прямую \(y = 2x - 1\) на координатной плоскости и отметим найденные точки:

\[
\begin{array}{c|c}
x & f(x) & y \\ \hline
-2 & 4 & -5 \\
-1 & 1 & -3 \\
0 & 0 & -1 \\
1 & 1 & 1 \\
2 & 4 & 3 \\
\end{array}
\]

3. Теперь сравним график функции и прямую. Визуально определяем, что они пересекаются только в одной точке, приблизительно при \(x = 0\). Это подтверждается и численно:

Подставим в уравнение \(f(x) = 2x - 1\) значение \(x = 0\):
Для функции \(f(x)\) получим \(f(0) = 0^2 = 0\),
Для прямой \(y = 2x - 1\) получим \(y = 2(0) - 1 = -1\).

Получаем, что прямая \(y = 2x - 1\) пересекает график функции \(f(x) = x^2\) только в одной точке с координатами \((0, -1)\).