Постройте график функции (x4−29⋅x2+100)(x−5)⋅(x+2) и найдите значения c, при которых прямая y=c пересекает график

Yuzhanka

13

Чтобы построить график функции \((x^4-29x^2+100)(x-5)(x+2)\), мы сначала найдем корни этой функции. Корни функции являются точками пересечения графика с осью абсцисс.

Для этого приравняем данную функцию к нулю и решим уравнение:
\[(x^4-29x^2+100)(x-5)(x+2) = 0\]

Заметим, что \((x-5)\) и \((x+2)\) в данной функции являются линейными множителями, а \(x^4-29x^2+100\) является квадратичным трехчленом.

Сначала найдем корни квадратичного трехчлена \(x^4-29x^2+100 = 0\). Для этого мы можем использовать замену переменной \(t = x^2\), чтобы решить квадратное уравнение:
\[t^2 - 29t + 100 = 0\]

Мы можем решить это уравнение с помощью квадратного корня или формулы дискриминанта. Проведем вычисления:

\[D = (-29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 841 - 400 = 441\]

Так как дискриминант \(D\) положительный, у нас есть два корня для \(t\):

\[t_1 = \frac{-(-29) + \sqrt{441}}{2} = \frac{29 + 21}{2} = 25\]
\[t_2 = \frac{-(-29) - \sqrt{441}}{2} = \frac{29 - 21}{2} = 4\]

Теперь мы можем найти соответствующие значения \(x\), подставив найденные значения \(t\) в уравнение \(t = x^2\):

\[x_1 = \sqrt{t_1} = \sqrt{25} = 5\]
\[x_2 = -\sqrt{t_1} = -\sqrt{25} = -5\]
\[x_3 = \sqrt{t_2} = \sqrt{4} = 2\]
\[x_4 = -\sqrt{t_2} = -\sqrt{4} = -2\]

Мы получили 4 корня для квадратичного трехчлена \(x^4-29x^2+100\): 5, -5, 2 и -2.

Теперь вернемся к исходному уравнению и найдем корни для \((x-5)(x+2)\):

\[x-5 = 0 \Rightarrow x = 5\]
\[x+2 = 0 \Rightarrow x = -2\]

Итак, мы имеем следующие корни для заданной функции: 5, -5, 2 и -2.

Теперь мы можем построить график функции, используя эти корни. График будет проходить через эти точки.

Чтобы найти значения \(c\), при которых прямая \(y=c\) пересекает график функции только в одной точке, нам нужно определить, в каких интервалах функция находится выше и ниже прямой.

Подставим точки из предыдущего шага в функцию \((x^4-29x^2+100)(x-5)(x+2)\) и посмотрим, какие значения принимает функция в этих точках. Рассмотрим следующую таблицу:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & (x^4-29x^2+100)(x-5)(x+2) \\
\hline
5 & 0 \\
-5 & 0 \\
2 & 0 \\
-2 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]

Мы видим, что функция равна нулю во всех указанных точках. Это означает, что график функции будет пересекать прямую \(y=c\) только в точках, где функция равна нулю.

То есть, чтобы найти значения \(c\), при которых прямая \(y=c\) пересекает график функции только в одной точке, мы должны найти интервалы, где функция является положительной и отрицательной.

Чтобы найти эти интервалы, мы можем рассмотреть знаки функции между корнями. Рассмотрим следующую таблицу:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Интервал} & \text{Знак функции} \\
\hline
(-\infty, -5) & - \\
(-5, -2) & + \\
(-2, 2) & - \\
(2, 5) & + \\
(5, +\infty) & - \\
\hline
\end{array}
\]

Мы видим, что функция положительная между -5 и -2, а также между 2 и 5, и отрицательная в остальных интервалах.

Значит, прямая \(y=c\) будет пересекать график функции только в одной точке, если она будет находиться между двумя положительными интервалами или между двумя отрицательными интервалами.

Итак, значения \(c\), при которых прямая \(y=c\) пересекает график функции только в одной точке, будут находиться между \((-\infty, -5)\) и \((-2, 2)\), а также между \((2, 5)\) и \((5, +\infty)\).

Теперь мы можем записать все значения \(c\) в порядке возрастания через точку с запятой:

\[-\infty, -5;-2,2;2,5;+\infty\]

Таким образом, ответ на задачу: значения \(c\), при которых прямая \(y=c\) пересекает график функции \((x^4-29x^2+100)(x-5)(x+2)\) только в одной точке, это \(-\infty, -5;-2,2;2,5;+\infty\).