Потрібно довести, що довжина відрізка ON дорівнює довжині відрізка

Vladimir

44

AB.

Для розв"язання цієї задачі застосуємо теорему Піфагора, яка говорить, що в квадратному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. В нашому випадку катети - це відрізки OA та OB, а гіпотенуза - відрізок ON.

Давайте для зручності позначимо довжину відрізка OA як a, а довжину відрізка OB як b. Тоді ми повинні довести, що \(ON^2 = AB^2\).

Застосуємо теорему Піфагора до трикутника AON:
\[OA^2 + AN^2 = ON^2\] (1)

Також застосуємо теорему Піфагора до трикутника BON:
\[OB^2 + BN^2 = ON^2\] (2)

Ми хочемо довести, що \(ON^2 = AB^2\). Замінимо \(ON^2\) у (2) на \(AB^2\) (згідно з умовою задачі):
\[OB^2 + BN^2 = AB^2\] (3)

Також, згідно з умовою задачі, нам треба довести, що довжина відрізка ON дорівнює довжині відрізка AB, тобто \(ON = AB\).

З рівності (1) випливає, що \(OA^2 + AN^2 = ON^2\). З рівності (3) випливає, що \(OB^2 + BN^2 = AB^2\).

З того, що \(OA = OB\) (з умови задачі), ми можемо прирівняти квадрати катетів у (1) та (3):
\[OA^2 + AN^2 = OB^2 + BN^2\]

З останньої рівності випливає, що \(AN^2 = BN^2\). Це можливо, тільки якщо AN = BN. Таким чином, ми довели, що точка N ділить відрізок AB навпіл:

\[AN = BN\]

Тепер ми знаємо, що відрізок AN має таку ж довжину, як і відрізок BN. Згідно з властивостями точок, це означає, що точка N є серединою відрізка AB.

Таким чином, ми довели, що довжина відрізка ON дорівнює довжині відрізка AB.