Пожалуйста, исследуйте монотонность функции y=3cos(2x+2π/3) на интервале (−0,7;0,8). Постройте график данной функции

Aleks

60

Для исследования монотонности функции \(y = 3\cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)\) на интервале \((-0,7;0,8)\), мы должны проанализировать знак производной функции на этом интервале.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по \(x\). Применяя правило дифференцирования функции \(\cos(u)\), где \(u\) - функция от \(x\), получаем:
\[\frac{dy}{dx} = -3 \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) \cdot 2\]

Упростим выражение:
\[\frac{dy}{dx} = -6 \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)\]

Шаг 2: Решим неравенство \( \frac{dy}{dx} > 0\) для определения, когда функция возрастает. Уравнение \( \frac{dy}{dx} > 0\) означает, что производная функции положительна.

\[-6 \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) > 0\]

Чтобы решить это неравенство, нам нужно найти интервалы \(x\), для которых \(\sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) < 0\), так как у нас есть отрицательный множитель \(-6\).

Шаг 3: Решим уравнение \(\sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) = 0\) для нахождения значений \(x\), при которых синус равен нулю.

\[\sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) = 0\]

Для этого уравнения есть два решения на интервале \((-0,7;0,8)\):
\(2x + \frac{2\pi}{3} = 0\), \(2x + \frac{2\pi}{3} = \pi\)

Решая эти уравнения, получаем:
\(x_1 = -\frac{\pi}{3}\), \(x_2 = -\frac{\pi}{6}\)

Шаг 4: Анализируем знак синуса в интервалах между и за пределами найденных значений \(x_1\) и \(x_2\) для определения знака производной на интервале \((-0,7;0,8)\).

Прежде всего, осознаем, что \(2x + \frac{2\pi}{3}\) увеличивается по мере увеличения \(x\) на интервале \((-0,7;0,8)\).

На интервале \((-0,7;0,8)\) значение \(2x + \frac{2\pi}{3}\) будет больше, чем \(-\frac{\pi}{3}\), но меньше, чем \(-\frac{\pi}{6}\).

Поскольку синус положителен на интервале \(\left[-\frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{6}\right]\), производная будет положительна на этом интервале.

Значит, функция возрастает на интервале \(\left[-\frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{6}\right]\) на интервале \((-0,7;0,8)\).

Шаг 5: Построим график функции \(y = 3\cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)\) на интервале \((-0,7;0,8)\).

Приведенный ниже график представляет функцию на интервале \((-0,7;0,8)\). Видно, что функция возрастает между точками \(x = -\frac{\pi}{3}\) и \(x = -\frac{\pi}{6}\).

\[Картинка с графиком\]

В итоге, функция \(y = 3\cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)\) убывает до \(x = -\frac{\pi}{3}\) и возрастает между \(x = -\frac{\pi}{3}\) и \(x = -\frac{\pi}{6}\) на интервале \((-0,7;0,8)\).

Надеюсь, данное исследование было понятным.