Пожалуйста, опишите ускорение свободного падения в окрестности поверхности планеты Юпитер, учитывая, что радиус планеты

Taisiya

11

Ускорение свободного падения в окрестности поверхности планеты Юпитер можно рассчитать с использованием закона всемирного тяготения, который формулируется следующим образом:

\[g = \frac{{G \cdot M}}{{R^2}}\]

где:
\(g\) - ускорение свободного падения,
\(G\) - гравитационная постоянная (\(6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2\)),
\(M\) - масса планеты Юпитер,
\(R\) - радиус планеты Юпитер.

Для решения задачи необходимо найти массу планеты Юпитер, используя данную информацию.

Из уравнения всемирного тяготения известно, что первая космическая скорость планеты - это скорость, при которой кинетическая энергия данного объекта равна его потенциальной энергии, которую он имеет на поверхности планеты.

Формула для кинетической энергии:

\[K = \frac{1}{2}mv^2\]

где:
\(K\) - кинетическая энергия,
\(m\) - масса объекта,
\(v\) - скорость объекта.

Также известно, что потенциальная энергия объекта на поверхности планеты выражается следующей формулой:

\[P = \frac{{GMm}}{{R}}\]

где:
\(P\) - потенциальная энергия,
\(G\) - гравитационная постоянная (\(6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2\)),
\(M\) - масса планеты Юпитер,
\(m\) - масса объекта,
\(R\) - радиус планеты Юпитер.

Из равенства кинетической и потенциальной энергии можно записать уравнение:

\[\frac{1}{2}mv^2 = \frac{{GMm}}{{R}}\]

Отсюда следует:

\[v^2 = \frac{{2GM}}{{R}}\]

Таким образом, первая космическая скорость равна \(\sqrt{\frac{{2GM}}{{R}}}\).

Дано, что первая космическая скорость равна \(4 \times 10^4\) м/с, а радиус планеты составляет \(7 \times 10^7\) м. Подставим значения в уравнение и решим его:

\[4 \times 10^4 = \sqrt{\frac{{2 \times 6.67430 \times 10^{-11} \times M}}{{7 \times 10^7}}}\]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[(4 \times 10^4)^2 = \frac{{2 \times 6.67430 \times 10^{-11} \times M}}{{7 \times 10^7}}\]

Решив это уравнение, можно найти массу планеты Юпитер:

\[M = \frac{{(4 \times 10^4)^2 \times 7 \times 10^7}}{{2 \times 6.67430 \times 10^{-11}}}\]

Вычислив выражение, получим значение массы планеты Юпитер. Затем можно использовать значение массы планеты Юпитер для расчета ускорения свободного падения по формуле \(g = \frac{{G \cdot M}}{{R^2}}\).