Пожалуйста, вот Можно представить функцию f(x) в виде ряда Фурье по синусам или косинусам на полупериоде? Представьте

Murka

60

Конечно! Данная задача связана с представлением функции f(x) в виде ряда Фурье по синусам или косинусам на полупериоде. Функция f(x) = \(\begin{cases}
0, & 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\
\sin(x), & \frac{\pi}{2} < x \leq \pi
\end{cases}\)

Давайте начнем с построения графика функции f(x) на заданном интервале.

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
0 & 0 \\
\frac{\pi}{6} & 0 \\
\frac{\pi}{4} & 0 \\
\frac{\pi}{3} & 0 \\
\frac{\pi}{2} & 0 \\
\frac{2\pi}{3} & \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \\
\frac{3\pi}{4} & \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \\
\pi & \sin(\pi) \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь давайте построим график функции f(x).

\[
\begin{array}{ccc}
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
0 & 0 \\
\end{array}
&
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
\frac{\pi}{6} & 0 \\
\end{array}
&
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
\frac{\pi}{4} & 0 \\
\end{array} \\
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
\frac{\pi}{3} & 0 \\
\end{array}
&
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
\frac{\pi}{2} & 0 \\
\end{array}
&
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
\frac{2\pi}{3} & \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \\
\end{array} \\
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
\frac{3\pi}{4} & \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \\
\end{array}
&
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
\pi & \sin(\pi) \\
\hline
\end{array}
\end{array}
\]

Переходим к нахождению коэффициентов ряда Фурье для данной функции. Для этого нам необходимо найти коэффициенты \(a_n\) для косинусной составляющей и \(b_n\) для синусной составляющей ряда Фурье.

Формулы для коэффициентов ряда Фурье:

\[a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)dx\]
\[a_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx\]
\[b_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx\]

Для нашей функции, с учетом ее определения на заданном интервале, имеем:

\[a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}0dx + \frac{1}{\pi}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin(x)dx\]
\[a_0 = \frac{1}{\pi}\left[-\cos(x)\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \frac{1}{\pi}(-\cos(\pi) + \cos(\frac{\pi}{2})) = \frac{1}{\pi}(1 + 0) = \frac{1}{\pi}\]

Теперь найдем \(a_n\) и \(b_n\) для n > 0:

\[a_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}0\cdot\cos(nx)dx + \frac{2}{\pi}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin(x)\cdot\cos(nx)dx\]
\[a_n = \frac{2}{\pi}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin(x)\cdot\cos(nx)dx = -\frac{2}{\pi}\left[\frac{\sin((n-1)x)}{n-1}\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -\frac{2}{\pi}\left[\frac{\sin((n-1)\pi)}{n-1} - \frac{\sin(\frac{(n-1)\pi}{2})}{n-1}\right]\]
\[a_n = -\frac{2}{\pi}\left[0 - \frac{\sin(\frac{(n-1)\pi}{2})}{n-1}\right] = \frac{2}{\pi}\frac{\sin(\frac{(n-1)\pi}{2})}{n-1} = \frac{2}{(n-1)\pi}\sin\left(\frac{(n-1)\pi}{2}\right)\]

\[b_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}0\cdot\sin(nx)dx + \frac{2}{\pi}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin(x)\cdot\sin(nx)dx\]
\[b_n = \frac{2}{\pi}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin(x)\cdot\sin(nx)dx = \frac{2}{\pi}\left[-\frac{\cos((n+1)x)}{n+1}\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \frac{2}{\pi}\left[-\frac{\cos((n+1)\pi)}{n+1} + \frac{\cos((n+1)\frac{\pi}{2})}{n+1}\right]\]
\[b_n = \frac{2}{\pi}\left[-\frac{\cos((n+1)\pi)}{n+1} - \frac{\cos((n+1)\frac{\pi}{2})}{n+1}\right] = \frac{2}{\pi}\left[\frac{\cos(n\pi)}{n+1} + \frac{\cos(\frac{n\pi}{2})}{n+1}\right]\]
\[b_n = \frac{2}{\pi}\frac{1 + (-1)^n}{n+1}\]

Теперь, имея коэффициенты ряда Фурье, мы можем записать его сумму для данной функции f(x):

\[f(x) \approx \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\right)\]

Подставляя значения коэффициентов \(a_0\), \(a_n\) и \(b_n\) в эту формулу, получим итоговую сумму ряда Фурье для данной функции.

Как видно из формулы, сумма ряда Фурье может быть записана в виде бесконечной суммы синусов и косинусов, которая приближается к исходной функции f(x) на полупериоде \([0, \pi]\).

Однако, для полной визуализации графика суммы ряда Фурье требуется бесконечное количество членов, что невозможно представить на рисунке. Чтобы получить приближенное представление, можно увеличивать количество слагаемых в сумме ряда Фурье.

Я надеюсь, что данное объяснение было исчерпывающим и обозримым для вас. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их мне!