Пожалуйста, вот перефразированные тексты вопросов: а) Какие значения x удовлетворяют неравенству 2x^2-9x+7> 0? б) Какие

Самбука_5344

67

а) Для решения данного неравенства, мы должны определить, какие значения \( x \) удовлетворяют неравенству \( 2x^2-9x+7 > 0 \). Давайте начнем с его графического представления.

Неравенство \( 2x^2-9x+7 > 0 \) является квадратным уравнением, где все коэффициенты являются числами. Чтобы найти значения \( x \), удовлетворяющие этому неравенству, мы должны найти точки, где график этого уравнения находится выше оси \( x \).

Для начала, давайте найдем вершина параболы, обозначенной уравнением \( 2x^2-9x+7 = 0 \). Вершина параболы может быть найдена с использованием формулы \( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 2 \) и \( b = -9 \).

Подставляя значения в формулу, мы получим:

\[ x = -\frac{-9}{2 \cdot 2} = \frac{9}{4} \]

Теперь мы знаем, что вершина параболы находится в точке \( \left(\frac{9}{4}, \text{некоторое число}\right) \).

Затем нам нужно определить, в каких областях график находится выше оси \( x \). Для этого мы можем провести некоторые тестовые точки, находящиеся в каждой из областей на числовой оси.

Давайте возьмем точку слева от вершины, например \( x = 0 \). Подставляя \( x = 0 \) в неравенство \( 2x^2-9x+7 > 0 \), мы получаем:

\[ 2(0)^2-9(0)+7 = 7 > 0 \]

Поскольку это неравенство истинно, мы можем сказать, что график находится выше оси \( x \) слева от вершины.

Теперь возьмем точку справа от вершины, например \( x = 3 \). Подставляя \( x = 3 \) в неравенство \( 2x^2-9x+7 > 0 \), мы получаем:

\[ 2(3)^2-9(3)+7 = 16 > 0 \]

Также, как и предыдущий тест, это неравенство истинно, что говорит нам о том, что график находится выше оси \( x \) справа от вершины.

Таким образом, значения \( x \), удовлетворяющие неравенству \( 2x^2-9x+7 > 0 \), находятся в интервале между корнями этого квадратного уравнения. Корни могут быть найдены с использованием формулы дискриминанта \( D = b^2-4ac \), где \( a = 2 \), \( b = -9 \) и \( c = 7 \).

\[ D = (-9)^2 - 4(2)(7) = 81 - 56 = 25 \]

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 5}{4} \]

\[ x_1 = \frac{9 + 5}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} \]

\[ x_2 = \frac{9 - 5}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]

Таким образом, значения \( x \), удовлетворяющие неравенству \( 2x^2-9x+7 > 0 \), находятся в интервале \( x \in \left(1, \frac{7}{2}\right) \). То есть, значения \( x \), которые делают \( 2x^2-9x+7 \) положительным, находятся в этом интервале.