Правильно ли я решил следующее уравнение: log2(14-14x)> =log2(x^2-5x+3) + log2(x+5)? ОДЗ: (-5; 1) В моем решении

Сабина

67

Чтобы проверить правильность вашего решения, давайте посмотрим на каждую часть уравнения по отдельности.

Первое, что нужно сделать, это сравнить экспоненты с обеих сторон. Мы имеем \(\log_2(14-14x) \geq \log_2[(x^2-5x+3) \cdot (x+5)]\).

Затем мы можем использовать свойство логарифма, которое гласит, что \(\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)\), чтобы преобразовать правую часть уравнения:
\(\log_2(14-14x) \geq \log_2(x^2-5x+3) + \log_2(x+5)\).

Далее мы можем объединить два логарифма на правой стороне уравнения, чтобы получить:
\(\log_2(14-14x) \geq \log_2[(x^2-5x+3)(x+5)]\).

Теперь, чтобы избавиться от логарифмов, мы можем применить экспоненту с основанием 2 к обоим сторонам уравнения:
\(14-14x \geq (x^2-5x+3)(x+5)\).

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:
\(14-14x \geq x^3+3x^2-5x^2+x^2+3x-5x-15\).

Когда мы соберем все слагаемые с \(x\) в одну часть уравнения и все остальные слагаемые в другую часть, мы получим:
\(x^3-6x^2+26x-29 \leq 0\).

Теперь давайте проанализируем допустимые значения \(x\) с помощью ОДЗ. Вы указали, что ОДЗ для этого уравнения равно \((-5; 1)\).

Мы можем использовать график или метод проверки точек для определения, где левая часть уравнения \((x^3-6x^2+26x-29)\) положительна или отрицательна внутри ОДЗ \((-5; 1)\).

Поскольку у нас отрицательное неравенство \(\leq\), мы ищем значения \(x\), при которых левая часть меньше или равна нулю.

Подставляя значения в интервал ОДЗ, мы можем найти, что в этой системе не существует корней. Таким образом, ваш ответ [1; 2] является правильным.