Представьте график функции f(x)=x^2-4x+3. Найти: 1) Диапазон значений функции 2) Интервал убывания функции 3) Множество

Тропик_9352

11

Давайте решим задачу поэтапно.

1) Чтобы найти диапазон значений функции \(f(x) = x^2 - 4x + 3\), нам нужно определить, на каком промежутке изменяется функция.

Для начала давайте найдем вершину параболы, так как ее координаты позволят нам понять, в какой области графика находятся все значения функции.

Для этого воспользуемся формулой для нахождения координат вершины параболы \(h = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты при \(x^2\) и \(x\) соответственно.

В нашем случае \(a = 1\) и \(b = -4\), поэтому \(h = -\frac{-4}{2\cdot1} = 2\).

Теперь, чтобы найти значение функции в точке \(x = h\), подставим \(x = 2\) в уравнение \(f(x)\):

\[f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\]

Таким образом, вершина параболы имеет координаты \((2, -1)\).

Теперь можем сделать вывод, что диапазон возможных значений функции \(f(x)\) будет состоять из всех значениях \(y\) на промежутке, для которого \(y \geq -1\). Другими словами, диапазон значений функции - это все числа, большие или равные -1.

2) Чтобы найти интервал убывания функции, необходимо определить, на каком промежутке график функции идет вниз. Это значит, что мы должны найти такой интервал значений \(x\), при которых \(f(x)\) уменьшается.

Для этого возьмем производную функции \(f"(x)\) и решим неравенство \(f"(x) < 0\).

Найдем производную функции \(f"(x)\) с помощью правила дифференцирования параболы:

\[f"(x) = 2x - 4\]

Теперь решим неравенство \(f"(x) < 0\):

\[2x - 4 < 0\]

Добавляем 4 к обеим сторонам:

\[2x < 4\]

Делим на 2:

\[x < 2\]

То есть, интервал убывания функции \(f(x)\) - это все значения \(x\) меньше 2.

3) Чтобы найти множество решений неравенства \(f(x) > 0\), мы должны определить, при каких значениях \(x\) функция \(f(x)\) принимает положительные значения.

Для этого решим неравенство \(f(x) > 0\):

\[x^2 - 4x + 3 > 0\]

Мы можем решить это неравенство, используя метод интервалов знакопостоянства. Для этого найдем корни уравнения \(x^2 - 4x + 3 = 0\).

Мы можем использовать формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\) для нахождения корней. В нашем случае \(a = 1\), \(b = -4\) и \(c = 3\).

\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4\]

Так как дискриминант \(D > 0\), у нас есть два различных корня. Найдем эти корни:

\[x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = 1\]

\[x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = 3\]

Таким образом, у нас есть два корня: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 3\).

Теперь давайте построим знаковую линию, чтобы определить знак функции \(f(x)\) на разных интервалах.

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
& x < 1 & 1 < x < 3 & x > 3 \\
\hline
f(x) & & & \\
\hline
\end{array}
\]

Для каждого интервала возьмем тестовую точку и подставим ее в функцию \(f(x)\), чтобы определить знак функции на этом интервале:

- Если \(x < 1\), возьмем \(x = 0\):

\[f(0) = (0)^2 - 4(0) + 3 = 3\]

Таким образом, на интервале \(x < 1\) функция \(f(x)\) принимает положительные значения.

- Если \(1 < x < 3\), возьмем \(x = 2\):

\[f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = -1\]

Таким образом, на интервале \(1 < x < 3\) функция \(f(x)\) принимает отрицательные значения.

- Если \(x > 3\), возьмем \(x = 4\):

\[f(4) = (4)^2 - 4(4) + 3 = 3\]

Таким образом, на интервале \(x > 3\) функция \(f(x)\) принимает положительные значения.

Таким образом, множество решений неравенства \(f(x) > 0\) - это все значения \(x\) на интервале от 1 до 3.

Итак, чтобы найти:

1) Диапазон значений функции \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) - все значения \(y\) больше или равные -1.
2) Интервал убывания функции \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) - это все значения \(x\) меньше 2.
3) Множество решений неравенства \(f(x) > 0\) - все значения \(x\) на интервале от 1 до 3.