Представьте график функции у=х^-5 1) Определите интервалы убывания функции 2) Сравните числа (1 7) ^-5 и 1; (3,2)^-5

Raduzhnyy_Den

12

Хорошо, давайте рассмотрим задачу по очереди.

1) Определение интервалов убывания функции:
Для того, чтобы определить интервалы убывания функции \(y = x^{-5}\), нам нужно проанализировать, когда значение функции уменьшается по мере увеличения значения переменной. В данном случае, так как у функции присутствует только отрицательный показатель степени, она будет убывающей на всей области определения.

2) Сравнение чисел \((1/7)^{-5}\) и 1; \((3,2)^{-5}\) и \((3 \sqrt{2})^{-5}\):
Давайте рассмотрим каждую пару чисел по отдельности:

a) \((1/7)^{-5}\) и 1:
\((1/7)^{-5}\) можно переписать как \((7/1)^{5}\), что равно \(7^{5}\). Таким образом, \((1/7)^{-5}\) равно \(1/7^{5}\). Если мы сравним \(1/7^{5}\) и 1, то поймем, что \(1/7^{5} < 1\). То есть, \((1/7)^{-5}\) меньше, чем 1.

b) \((3,2)^{-5}\) и \((3 \sqrt{2})^{-5}\):
\((3,2)^{-5}\) можно написать как \(3,2^{-5}\), а \((3 \sqrt{2})^{-5}\) как \(3 \sqrt{2}^{-5}\). Если мы сравним \(3,2^{-5}\) и \(3 \sqrt{2}^{-5}\), то заметим, что они равны друг другу. Следовательно, \((3,2)^{-5}\) и \((3 \sqrt{2})^{-5}\) равны.

3) Нахождение обратной функции для \(y = (x-8)^{-1}\) и указание области определения и множества значений:
Для нахождения обратной функции, мы меняем местами переменные \(x\) и \(y\), и решаем уравнение относительно \(y\).

Итак, начнем с уравнения \(y = (x-8)^{-1}\):

\[y = \frac{1}{x-8}\]

Меняем местами \(x\) и \(y\):

\[x = \frac{1}{y-8}\]

Теперь решаем уравнение относительно \(y\):

\[\frac{1}{y-8} = x\]

Домножаем обе стороны на \(y-8\):

\[1 = x(y-8)\]

Раскрываем скобку:

\[1 = xy - 8x\]

Добавляем 8x к обеим сторонам:

\[8x + 1 = xy\]

Теперь делим обе стороны на \(x\):

\[y = \frac{8x + 1}{x}\]

Таким образом, обратная функция для \(y = (x-8)^{-1}\) равна \(y = \frac{8x + 1}{x}\).

Областью определения этой функции будет всё, кроме \(x = 0\), так как в исходной функции присутствовало деление на \(x\). Множество значений будет всё, кроме \(y = 0\), так как \(y\) не может быть равно 0 в обратной функции.

4) Решение неравенства \(\sqrt{x+8}\):
Чтобы решить это неравенство \(\sqrt{x+8}\), нам нужно выразить \(x\) в канонической форме.

Очень важно помнить, что при переходе между квадратными корнями и квадратами, мы должны учитывать область определения функций. В данном случае, \(x+8\) должно быть неотрицательным числом или равным нулю.

Начнем с неравенства:

\(\sqrt{x+8}\)

Чтобы избавиться от квадратного корня, возводим обе стороны в квадрат:

\(x+8 \geq 0\)

Вычитаем 8 из обеих сторон:

\(x \geq -8\)

Таким образом, решением неравенства \(\sqrt{x+8}\) является любое значение \(x\), которое больше или равно -8.