Для какого наименьшего отрицательного значения параметра a неравенство (3-a)x^2 -4x-a≥0 выполняется при любых значениях

Донна_7120

61

Давайте решим каждое неравенство по очереди.

1) Рассмотрим неравенство $(3-a)x^2-4x-a\ge 0$. Чтобы понять при каких значениях параметра $a$ оно выполняется при любых значениях $x$, нам нужно найти такие значения $a$, при которых уравнение имеет решение только тогда, когда дискриминант $D$ меньше или равен нулю.

Начнем с выражения дискриминанта:

$$D=(-4{)}^2-4(3-a)(-a)=16+12a-4a^2$$

Уравнение имеет решения только тогда, когда $D\le 0$. Запишем это неравенство:

$$16+12a-4a^2\le 0$$

Для решения этого квадратного неравенства, нужно разложить его на множители:

$$(2a-4)(a+4)\le 0$$

Теперь мы видим, что необходимо чтобы один из множителей был положительным, а другой — отрицательным.

- Если $2a-4>0$ и $a+4<0$, то $-\frac{1}{2}<a<4$.
- Если $2a-4<0$ и $a+4>0$, то $a<-2$.

Получили два неравенства, которые ограничивают значения параметра $a$: $-\frac{1}{2}<a<4$ и $a<-2$. Чтобы найти наименьшее отрицательное значение параметра $a$, нужно взять наибольшее значение из этих двух неравенств. В данном случае это $a=-2$.

Таким образом, для наименьшего отрицательного значения параметра $a$ неравенство $(3-a)x^2-4x-a\ge 0$ выполняется при любых значениях $x$, когда $a=-2$.

2) Рассмотрим второе неравенство $(a+5)x^2+12x+a\le 0$. Аналогично предыдущему случаю, мы должны найти такие значения параметра $a$, при которых уравнение имеет решение только тогда, когда дискриминант $D$ меньше или равен нулю.

Выразим дискриминант $D$ для этого уравнения:

$$D={12}^2-4(a+5)a=144-4a^2-20a=4(36-a^2-5a)$$

Теперь мы можем переписать, что $D\le 0$:

$$4(36-a^2-5a)\le 0$$

Так как коэффициент 4 положителен, нам нужно чтобы $36-a^2-5a\le 0$.

Для решения этого квадратного неравенства, получим следующее:

$$(a+6)(a-6)\le 0$$

Мы видим, что нужно, чтобы один множитель был положительным, а другой — отрицательным.

- Если $a+6>0$ и $a-6<0$, то $-6<a<6$.
- Если $a+6<0$ и $a-6>0$, то $a<-6$ или $a>6$.

Мы получили два неравенства, которые ограничивают значения параметра $a$: $-6<a<6$ и $a<-6$ или $a>6$.

Чтобы найти наименьшее отрицательное значение параметра $a$, мы должны взять наибольшее значение из этих двух неравенств, которое будет $a=-6$.

Таким образом, для наименьшего отрицательного значения параметра $a$ неравенство $(a+5)x^2+12x+a\le 0$ выполняется при любых значениях $x$, когда $a=-6$.