Для какого наименьшего отрицательного значения параметра a неравенство (3-a)x^2 -4x-a≥0 выполняется при любых значениях

Донна_7120

61

Давайте решим каждое неравенство по очереди.

1) Рассмотрим неравенство \((3-a)x^2 -4x-a \geq 0\). Чтобы понять при каких значениях параметра \(a\) оно выполняется при любых значениях \(x\), нам нужно найти такие значения \(a\), при которых уравнение имеет решение только тогда, когда дискриминант \(D\) меньше или равен нулю.

Начнем с выражения дискриминанта:

\[D = (-4)^2 - 4(3-a)(-a) = 16 + 12a - 4a^2\]

Уравнение имеет решения только тогда, когда \(D \leq 0\). Запишем это неравенство:

\[16 + 12a - 4a^2 \leq 0\]

Для решения этого квадратного неравенства, нужно разложить его на множители:

\[(2a-4)(a+4) \leq 0\]

Теперь мы видим, что необходимо чтобы один из множителей был положительным, а другой — отрицательным.

- Если \(2a-4 > 0\) и \(a+4 < 0\), то \(-\frac{1}{2} < a < 4\).
- Если \(2a-4 < 0\) и \(a+4 > 0\), то \(a < -2\).

Получили два неравенства, которые ограничивают значения параметра \(a\): \(-\frac{1}{2} < a < 4\) и \(a < -2\). Чтобы найти наименьшее отрицательное значение параметра \(a\), нужно взять наибольшее значение из этих двух неравенств. В данном случае это \(a = -2\).

Таким образом, для наименьшего отрицательного значения параметра \(a\) неравенство \((3-a)x^2 -4x-a \geq 0\) выполняется при любых значениях \(x\), когда \(a = -2\).

2) Рассмотрим второе неравенство \((a+5)x^2 +12x+a \leq 0\). Аналогично предыдущему случаю, мы должны найти такие значения параметра \(a\), при которых уравнение имеет решение только тогда, когда дискриминант \(D\) меньше или равен нулю.

Выразим дискриминант \(D\) для этого уравнения:

\[D = 12^2 - 4(a+5)a = 144 - 4a^2 - 20a = 4(36 - a^2 - 5a)\]

Теперь мы можем переписать, что \(D \leq 0\):

\[4(36 - a^2 - 5a) \leq 0\]

Так как коэффициент 4 положителен, нам нужно чтобы \(36 - a^2 - 5a \leq 0\).

Для решения этого квадратного неравенства, получим следующее:

\[(a+6)(a-6) \leq 0\]

Мы видим, что нужно, чтобы один множитель был положительным, а другой — отрицательным.

- Если \(a+6 > 0\) и \(a-6 < 0\), то \(-6 < a < 6\).
- Если \(a+6 < 0\) и \(a-6 > 0\), то \(a < -6\) или \(a > 6\).

Мы получили два неравенства, которые ограничивают значения параметра \(a\): \(-6 < a < 6\) и \(a < -6\) или \(a > 6\).

Чтобы найти наименьшее отрицательное значение параметра \(a\), мы должны взять наибольшее значение из этих двух неравенств, которое будет \(a = -6\).

Таким образом, для наименьшего отрицательного значения параметра \(a\) неравенство \((a+5)x^2 +12x+a \leq 0\) выполняется при любых значениях \(x\), когда \(a = -6\).