При каких значениях a уравнение x^2-(4a+3)x+3a^2+3a/x-1=0 a) имеет ровно один корень b) имеет только отрицательные

Соня

53

Хорошо, рассмотрим данное уравнение:

\[x^2-(4a+3)x+\frac{3a^2+3a}{x-1}=0\]

Чтобы найти значения параметра \(a\), при которых уравнение имеет ровно один корень, нам понадобится использовать дискриминант. Дискриминант \(D\) уравнения квадратного вида \(ax^2+bx+c=0\) определяется по формуле \(D = b^2-4ac\).

В нашем случае, у нас есть:

\[a=4a+3 \\
b=-(4a+3) \\
c=\frac{3a^2+3a}{x-1}\]

Чтобы уравнение имело ровно один корень, дискриминант должен быть равен нулю: \(D=0\). Подставим значения \(a\), \(b\) и \(c\) в формулу дискриминанта и приравняем полученное выражение к нулю:

\[(4a+3)^2 -4a \cdot \frac{3a^2+3a}{x-1} = 0\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[16a^2+24a+9 - \frac{12a^3+12a^2}{x-1} - \frac{12a^2+12a}{x-1} = 0\]

Упростим выражение:

\[16a^2+24a+9 - \frac{12a^3 + 24a^2 + 12a}{x-1} = 0\]

Перенесем дробь налево:

\[16a^2+24a+9 - \frac{2a(6a^2 + 12a + 6)}{(x-1)} = 0\]

Теперь сгруппируем слагаемые:

\[\frac{(16a^2+24a+9)(x-1) - 2a(6a^2 + 12a + 6)}{(x-1)} = 0\]

Раскроем скобки:

\[\frac{16a^2x - 16a^2 + 24ax - 24a + 9x - 9 - 12a^3 - 24a^2 - 12a}{x-1} = 0\]

Упростим:

\[\frac{-12a^3 + 16a^2x + 24ax - 48a + 9x - 9}{x-1} = 0\]

Дальше можно продолжить приведение подобных слагаемых, но нам достаточно установить равенство числителя нулю:

\[-12a^3 + 16a^2x + 24ax - 48a + 9x - 9 = 0\]

Так как нам нужно найти значения параметра \(a\), при которых уравнение имеет только отрицательные корни, то будем работать с этим условием.

Разобьем полученное уравнение на два: одно содержит только \(a\), а другое только \(x\):

\[-12a^3 + 16a^2x + 24ax - 48a + 9x - 9 = 0\]

Рассмотрим уравнение, содержащее только \(x\):

\[16a^2x + 24ax + 9x = 0\]

Вынесем общий множитель \(x\) и решим полученное уравнение относительно \(x\):

\[x(16a^2 + 24a + 9) = 0\]

Получаем два решения:

1) \(x = 0\)

2) \(16a^2 + 24a + 9 = 0\)

Теперь рассмотрим уравнение, содержащее только \(a\):

\[-12a^3 - 48a = 0\]

Вынесем общий множитель \(-12a\) и решим полученное уравнение относительно \(a\):

\[-12a(a^2 + 4) = 0\]

Получаем два решения:

1) \(a = 0\)

2) \(a^2 + 4 = 0\)

Уравнение \(a^2 + 4 = 0\) не имеет действительных решений, так как квадрат некоторого числа всегда неотрицательный.

Итак, мы получили два возможных значения \(a\): \(a = 0\) и \(x = 0\).

Подставим эти значения в исходное уравнение для \(x\):

\[x^2 - (4a+3)x + 3a^2 + 3a = x^2 - 3x\]

Теперь проверим условия задачи:

a) Уравнение имеет ровно один корень:
При \(a = 0\) получаем \(x^2 - 3x\) и это уравнение имеет только один корень \(x = 0\).

b) Уравнение имеет только отрицательные корни:
При \(x = 0\) получаем \(0^2 - 3 \cdot 0 = 0\) и данное уравнение не имеет отрицательный корней.

Таким образом, подходящим значением для параметра \(a\) является только \(a = 0\), при котором уравнение имеет ровно один корень \(x = 0\).