Сколько книг следует назначить на второй цех, чтобы после одновременного начала работы в каждом цехе они также

Zabludshiy_Astronavt

31

Для решения этой задачи нам необходимо определить, сколько дней потребуется для переплета книг в каждом цехе и найти наименьшее общее кратное этих чисел.

Пусть \(x\) - количество книг, которые следует назначить на второй цех.

В первом цехе на переплет одной книги требуется \(128\) рабочих дней, во втором - \(48\) рабочих дней, и в третьем цехе - \(80\) рабочих дней.

Теперь мы можем найти время завершения работы в каждом цехе, используя формулу: \(\text{{количество дней}} = \frac{{\text{{количество книг}}}}{{\text{{книги в день}}}}\).

В первом цехе работы закончатся через \(\frac{{2000}}{{128}}\) дней,
во втором цехе через \(\frac{{x}}{{48}}\) дней,
а в третьем цехе через \(\frac{{2000-x}}{{80}}\) дней.

Так как требуется, чтобы работы во всех цехах закончились одновременно, мы должны найти наименьшее общее кратное этих чисел. Для этого нам понадобится рассчитать НОК (наименьшее общее кратное) разных чисел.

НОК двух чисел можно найти с помощью формулы: \(\text{{НОК}}(a, b) = \frac{{a \cdot b}}{{\text{{НОД}}(a, b)}}\), где \(\text{{НОД}}(a, b)\) - наибольший общий делитель этих чисел.

Теперь давайте воспользуемся этой формулой, чтобы найти НОК для трех чисел: \(\text{{НОК}}(\frac{{2000}}{{128}}, \frac{{x}}{{48}}, \frac{{2000-x}}{{80}})\).

Прежде чем продолжить, нам нужно найти НОД между числами \(128\), \(48\) и \(80\). Вычислим их:

НОД между \(128\) и \(48\) равен \(16\) (так как \(128 = 8 \cdot 16\) и \(48 = 3 \cdot 16\)).

Теперь найдем НОД между \(16\) и \(80\). Оба числа делятся на \(16\), поэтому НОД равен самому \(16\).

Итак, мы выяснили, что НОД между \(128\), \(48\) и \(80\) равен \(16\).

Теперь мы можем найти НОК, используя формулу: \(\text{{НОК}}(\frac{{2000}}{{128}}, \frac{{x}}{{48}}, \frac{{2000-x}}{{80}}) = \frac{{\frac{{2000}}{{128}} \cdot \frac{{x}}{{48}} \cdot \frac{{2000-x}}{{80}}}}{{16}}\).

Упростим это выражение. Сперва упростим дроби в числителе:

\(\frac{{2000}}{{128}} = \frac{{25}}{{2}}\),
\(\frac{{x}}{{48}} = \frac{{x}}{{48}}\),
\(\frac{{2000-x}}{{80}} = \frac{{2000-x}}{{80}}\).

Теперь умножим числа в числителе и получим:

\(\frac{{25}}{{2}} \cdot \frac{{x}}{{48}} \cdot \frac{{2000-x}}{{80}} = \frac{{25x(2000-x)}}{{15360}}\).

Теперь разделим это число на НОД (16):

\(\frac{{25x(2000-x)}}{{15360}} \div 16 = \frac{{25x(2000-x)}}{{15360 \cdot 16}} = \frac{{25x(2000-x)}}{{245760}}\).

Итак, НОК между \(128\), \(48\) и \(80\) равен \(\frac{{25x(2000-x)}}{{245760}}\).

Теперь мы можем сказать, что работы в каждом цехе закончатся одновременно, когда достигнем такого количества книг на втором цехе (\(x\)), при котором НОК равен \(\frac{{25x(2000-x)}}{{245760}}\) равен наименьшему общему кратному \(245760\).

Надеюсь, эта подробная и развернутая информация помогла вам понять, как можно решить эту задачу. Если у вас возникнут еще вопросы или что-то будет непонятно, пожалуйста, сообщите мне!