При каких значениях параметра a точка пересечения прямых y = x — 3 и y = ax + 1 расположена выше оси абсцисс, но ниже

Леонид

65

Давайте решим данную задачу. Для начала, мы хотим найти значения параметра \( a \), при которых точка пересечения прямых \( y = x - 3 \) и \( y = ax + 1 \) находится выше оси абсцисс, но ниже прямой \( y = -3x + 21 \).

Чтобы найти точку пересечения, приравняем уравнения прямых и решим систему уравнений. Подставим уравнения вместо переменных \( y \):

\[
x - 3 = ax + 1
\]

Мы хотим, чтобы точка пересечения была выше оси абсцисс, поэтому значение \( y \) должно быть положительным. Это означает, что значение \( x \) должно быть больше 3.

Также мы хотим, чтобы точка пересечения была ниже прямой \( y = -3x + 21 \). Чтобы найти точку пересечения этих двух прямых, мы приравниваем уравнения:

\[
x - 3 = -3x + 21
\]

Решим это уравнение:

\[
4x = 24
\]

\[
x = 6
\]

Подставим \( x = 6 \) в любое из уравнений и найдем \( y \):

\[
y = 6 - 3 = 3
\]

Таким образом, точка пересечения прямых \( y = x - 3 \) и \( y = ax + 1 \) равна (6, 3).

Теперь нам нужно определить, при каких значениях параметра \( a \) эта точка находится выше оси абсцисс, но ниже прямой \( y = -3x + 21 \).

Уравнение прямой \( y = -3x + 21 \) говорит нам, что коэффициент при \( x \) равен -3. То есть, для того чтобы точка находилась ниже этой прямой, коэффициент \( a \) должен быть меньше -3.

Однако мы также хотим, чтобы точка находилась выше оси абсцисс, что означает, что значение \( y \) должно быть положительным. Подставив значения из точки пересечения, получим следующее неравенство:

\[
6a + 1 > 0
\]

Решим его для \( a \):

\[
6a > -1
\]

\[
a > -\frac{1}{6}
\]

Таким образом, чтобы точка пересечения прямых \( y = x - 3 \) и \( y = ax + 1 \) находилась выше оси абсцисс, но ниже прямой \( y = -3x + 21 \), значение параметра \( a \) должно удовлетворять неравенству \( a > -\frac{1}{6} \).

Школьникам может быть полезно визуализировать это графически. Ниже приведен график, на котором отмечены упомянутые прямые:

\[
\begin{align*}
y &= x - 3 \\
y &= ax + 1 \\
y &= -3x + 21 \\
\end{align*}
\]

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
0 & -3 \\
1 & -2 \\
2 & -1 \\
3 & 0 \\
4 & 1 \\
5 & 2 \\
6 & 3 \\
7 & 4 \\
8 & 5 \\
9 & 6 \\
10 & 7 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь осталось найти количество целых значений параметра \( a \), удовлетворяющих данному условию. Мы можем заметить, что уравнение \( a > -\frac{1}{6} \) означает, что \( a \) должно быть больше, чем -1/6, но его значение должно быть целым числом. Следовательно, все целочисленные значения \( a \), начиная от -1/6 и включая все большие значения, удовлетворяют этому условию.

Таким образом, количество целых значений параметра \( a \), удовлетворяющих данному условию, бесконечно.