При каких значениях параметра d функция y=5x³−15x возрастает на интервале [2d−2;10d+10]?

Ледяная_Душа

14

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра \(d\) функция \(y = 5x^3 - 15x\) возрастает на интервале \([2d - 2, 10d + 10]\), нам потребуется проанализировать производную этой функции. Давайте начнем.

1. Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\):
\[y" = \frac{d}{dx} (5x^3 - 15x)\]

2. Производная функции \(y\) равна:
\[y" = 15x^2 - 15\]

3. Теперь нам нужно найти значения \(x\), при которых производная положительна на интервале \([2d - 2, 10d + 10]\), так как это будет означать, что функция возрастает на данном интервале.

4. Для этого приравняем производную \(y"\) к нулю и решим полученное уравнение:
\[15x^2 - 15 = 0\]
\[3x^2 - 3 = 0\]
\[3(x^2 - 1) = 0\]
\[(x - 1)(x + 1) = 0\]

5. Из полученного уравнения мы видим, что значения \(x\), при которых производная равна нулю, равны \(x = -1\) и \(x = 1\).

6. Теперь нам нужно определить, как меняется знак производной между значениями -1, 1 и на концах интервала \(2d - 2\) и \(10d + 10\).

7. Если проанализировать знак производной в каждом из интервалов, полученных разбиением числовой прямой, можем прийти к следующим выводам:

a) Для интервала \((- \infty, 2d - 2)\): производная \(y"\) будет отрицательна, так как \(x\) меньше значения -1.

b) Для интервала \((-1, 1)\): производная \(y"\) будет положительна, так как \(x\) лежит между -1 и 1.

c) Для интервала \((1, + \infty)\): производная \(y"\) будет отрицательна, так как \(x\) больше значения 1.

8. Теперь мы должны определить, при каких значениях параметра \(d\) интервал \([2d - 2, 10d + 10]\) содержит точки монотонности функции. Для этого рассмотрим значения \(x\) на границах интервалов и анализируем знак производной в каждом из интервалов:

a) Если вычислить значение при \(x = 2d - 2\), то знак производной будет зависеть от значения параметра \(d\). Если \(2d - 2 < -1\), то знак производной будет положительным на левой границе интервала. Если же \(2d - 2 > 1\), то знак производной будет отрицательным на левой границе интервала.

b) Аналогично, для границы справа \(x = 10d + 10\), знак производной будет зависеть от значения параметра \(d\). Если \(10d + 10 < -1\), то знак производной будет отрицательным на правой границе интервала. Если \(10d + 10 > 1\), то знак производной будет положительным на правой границе интервала.

9. Суммируя все полученные результаты, мы можем сказать, что функция \(y = 5x^3 - 15x\) возрастает на интервале \([2d - 2, 10d + 10]\), если выполняются следующие условия:

\(-1 < 2d - 2\) и \(10d + 10 > 1\)

То есть, для значения параметра \(d\), интервал между \(2d - 2\) и \(10d + 10\) должен содержать точку 1 и не содержать точки -1.

Данное решение может быть полезно для понимания того, как изменяется функция \(y = 5x^3 - 15x\) при изменении значения параметра \(d\) и при каких значениях она возрастает на указанном интервале.