При каких значениях параметра s функция y=5x3−15x возрастает на интервале [2s−4;10s+10]?

Звёздочка_6269

38

Для того чтобы выяснить, при каких значениях параметра \(s\) функция \(y = 5x^3 - 15x\) возрастает на интервале \([2s - 4; 10s + 10]\), нам нужно найти условия, когда производная функции положительна на данном интервале.

Для начала, найдем производную функции \(y\) по \(x\). Обозначим её как \(y"\) или \(\frac{dy}{dx}\).

\[y" = \frac{d}{dx}(5x^3 - 15x)\]

Чтобы найти производную данной функции, применим правило дифференцирования для каждого слагаемого:

\[\frac{d}{dx}(5x^3 - 15x) = \frac{d}{dx}(5x^3) - \frac{d}{dx}(15x)\]

Дифференцируя поочередно каждое слагаемое, получим:

\[\frac{d}{dx}(5x^3) - \frac{d}{dx}(15x) = 15 \cdot 3x^2 - 15 = 45x^2 - 15\]

Теперь у нас есть производная функции \(y\). Для того чтобы определить, когда функция возрастает на интервале \([2s - 4; 10s + 10]\), нам нужно найти значения \(x\), при которых производная \(y"\) положительна.

Итак, решим неравенство \(45x^2 - 15 > 0\).

Вынесем общий множитель:

\[45(x^2 - \frac{1}{3}) > 0\]

Затем, разделим обе части неравенства на 45:

\[x^2 - \frac{1}{3} > 0\]

Для того чтобы решить это неравенство в виде произведения двух множителей, найдем его корни:

\[x^2 - \frac{1}{3} = 0\]

Для этого приведем уравнение к виду:

\[x^2 = \frac{1}{3}\]

Затем возведем обе части уравнения в квадрат:

\[x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}\]

Таким образом, функция \(y = 5x^3 - 15x\) возрастает, когда \(x > \sqrt{\frac{1}{3}}\) или \(x < -\sqrt{\frac{1}{3}}\).

Вернемся к условию задачи, чтобы определить, при каких значениях \(s\) функция возрастает на интервале \([2s - 4; 10s + 10]\).

Нам нужно найти такие значения \(s\), при которых выполняются следующие условия:

\[2s - 4 > \sqrt{\frac{1}{3}}\] и \[10s + 10 > \sqrt{\frac{1}{3}}\]

Решим первое неравенство:

\[2s - 4 > \sqrt{\frac{1}{3}}\]

Добавим 4 к обеим сторонам неравенства:

\[2s > \sqrt{\frac{1}{3}} + 4\]

Разделим обе части неравенства на 2:

\[s > \frac{\sqrt{\frac{1}{3}} + 4}{2}\]

Теперь решим второе неравенство:

\[10s + 10 > \sqrt{\frac{1}{3}}\]

Вычтем 10 из обеих сторон неравенства:

\[10s > \sqrt{\frac{1}{3}} - 10\]

Разделим обе части неравенства на 10:

\[s > \frac{\sqrt{\frac{1}{3}} - 10}{10}\]

Таким образом, функция \(y = 5x^3 - 15x\) возрастает на интервале \([2s - 4; 10s + 10]\), когда выполнены следующие условия:

\[s > \frac{\sqrt{\frac{1}{3}} + 4}{2}\] и \[s > \frac{\sqrt{\frac{1}{3}} - 10}{10}\]

Пожалуйста, учтите, что в конечном ответе условия задачи являются неравенствами, а не просто значениями параметра \(s\). Надеюсь, этот ответ ясно объясняет, как мы пришли к результатам.