При каких значениях переменной а система уравнений имеет два корня {х² +y² = 4, {x+y=a

Ivanovich

51

Чтобы определить значения переменной a, при которых система уравнений имеет два корня, мы должны решить систему уравнений методом подстановки или методом сложения и вычитания.

Дана система уравнений:
$$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2& =4(1)\\ x+y& =a(2)\end{array}$$

Мы можем использовать второе уравнение для получения значения одной из переменных и подставить это значение в первое уравнение.

Используя второе уравнение (2), мы можем выразить x через y, вычтя y из обеих сторон уравнения:
$$x=a-y$$

Теперь мы можем подставить это значение x в первое уравнение (1):
$$(a-y{)}^2+y^2=4$$
$$a^2-2ay+y^2+y^2=4$$
$$a^2-2ay+2y^2=4$$

Теперь, чтобы получить уравнение квадратного трехчлена, мы можем объединить все члены левой стороны:
$$2y^2-2ay+a^2-4=0$$

Это уравнение квадратного трехчлена. Чтобы найти значения переменной a, при которых система имеет два корня, нам нужно найти значения y, при которых дискриминант этого уравнения положителен (D > 0).

Вычислим дискриминант D с помощью формулы: $$D=b^2-4ac$$, где a = 2, b = -2a, c = a^2 - 4.

$$D=(-2a{)}^2-4(2)(a^2-4)$$
$$D=4a^2-8(a^2-4)$$
$$D=4a^2-8a^2+32$$
$$D=-4a^2+32$$

Искомые значения a будут теми, при которых D > 0:
$$-4a^2+32>0$$
$$-4a^2>-32$$
$$a^2<8$$

Чтобы найти значения a, удовлетворяющие этому неравенству, возьмем квадратный корень из обоих сторон:
$$|a|<\sqrt{8}$$
$$-\sqrt{8}<a<\sqrt{8}$$

Таким образом, система уравнений имеет два корня для всех значений a, таких что -\sqrt{8} < a < \sqrt{8}.

Надеюсь, это помогло вам понять, как найти значения переменной a, при которых система уравнений имеет два корня. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.