При каких значениях переменной а система уравнений имеет два корня {х² +y² = 4, {x+y=a

Ivanovich

51

Чтобы определить значения переменной a, при которых система уравнений имеет два корня, мы должны решить систему уравнений методом подстановки или методом сложения и вычитания.

Дана система уравнений:
\[\begin{align*}
x^2 + y^2 &= 4 \quad (1) \\
x + y &= a \quad (2)
\end{align*}\]

Мы можем использовать второе уравнение для получения значения одной из переменных и подставить это значение в первое уравнение.

Используя второе уравнение (2), мы можем выразить x через y, вычтя y из обеих сторон уравнения:
\[x = a - y\]

Теперь мы можем подставить это значение x в первое уравнение (1):
\[(a - y)^2 + y^2 = 4\]
\[a^2 - 2ay + y^2 + y^2 = 4\]
\[a^2 - 2ay + 2y^2 = 4\]

Теперь, чтобы получить уравнение квадратного трехчлена, мы можем объединить все члены левой стороны:
\[2y^2 - 2ay + a^2 - 4 = 0\]

Это уравнение квадратного трехчлена. Чтобы найти значения переменной a, при которых система имеет два корня, нам нужно найти значения y, при которых дискриминант этого уравнения положителен (D > 0).

Вычислим дискриминант D с помощью формулы: \[D = b^2 - 4ac\], где a = 2, b = -2a, c = a^2 - 4.

\[D = (-2a)^2 - 4(2)(a^2 - 4)\]
\[D = 4a^2 - 8(a^2 - 4)\]
\[D = 4a^2 - 8a^2 + 32\]
\[D = -4a^2 + 32\]

Искомые значения a будут теми, при которых D > 0:
\[-4a^2 + 32 > 0\]
\[-4a^2 > -32\]
\[a^2 < 8\]

Чтобы найти значения a, удовлетворяющие этому неравенству, возьмем квадратный корень из обоих сторон:
\[|a| < \sqrt{8}\]
\[-\sqrt{8} < a < \sqrt{8}\]

Таким образом, система уравнений имеет два корня для всех значений a, таких что -\sqrt{8} < a < \sqrt{8}.

Надеюсь, это помогло вам понять, как найти значения переменной a, при которых система уравнений имеет два корня. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.