При каких значениях переменной t выражение √(t−6)(t+2) будет иметь смысл?

Шоколадный_Ниндзя

10

Для выражения \(\sqrt{(t-6)(t+2)}\) имеет смысл, необходимо, чтобы аргумент под корнем был больше или равен нулю. Таким образом, нам нужно решить следующее неравенство:

\((t - 6)(t + 2) \geq 0\)

Для решения данного неравенства, первым шагом найдем значения переменной t, при которых уравнение равно нулю. То есть, найдем корни уравнения.

\((t - 6)(t + 2) = 0\)

Пользуясь свойствами умножения, мы видим, что это равенство будет верно при двух случаях:

1) \(t - 6 = 0\), тогда \(t = 6\)

2) \(t + 2 = 0\), тогда \(t = -2\)

Теперь, учитывая найденные корни, рассмотрим интервалы числовой прямой и определим знак выражения \((t - 6)(t + 2)\) в каждом из них.

Интервал (-∞, -2):
Выберем произвольное число t из интервала (-∞, -2), например, t = -3. Подставим его в выражение \((t - 6)(t + 2)\):
\((-3 - 6)(-3 + 2) = (-9)(-1) = 9\)
Получается положительное число.

Интервал (-2, 6):
Выберем произвольное число t из интервала (-2, 6), например, t = 0. Подставим его в выражение \((t - 6)(t + 2)\):
\((0 - 6)(0 + 2) = (-6)(2) = -12\)
Получается отрицательное число.

Интервал (6, +∞):
Выберем произвольное число t из интервала (6, +∞), например, t = 7. Подставим его в выражение \((t - 6)(t + 2)\):
\((7 - 6)(7 + 2) = (1)(9) = 9\)
Получается положительное число.

Таким образом, выражение \(\sqrt{(t-6)(t+2)}\) будет иметь смысл при значении переменной t на интервалах (-∞, -2] и [6, +∞).