При каких значениях переменной выражение √3x+11+5/√4-x является осмысленным?

Летучий_Мыш

22

Чтобы определить при каких значениях переменной выражение \(\sqrt{3x+11}+\frac{5}{\sqrt{4-x}}\) является осмысленным, нам нужно помнить о двух вещах:
1) Нельзя делить на ноль.
2) Корень из отрицательного числа не определен в обычных вещественных числах.

Теперь рассмотрим выражение по отдельности:

- \(\sqrt{3x+11}\): корень извлекается из неотрицательного числа или нуля. Следовательно, выражение \(3x+11\) должно быть неотрицательным или равным нулю.

\[
\begin{align*}
3x+11 & \geq 0 \\
3x & \geq -11 \\
x & \geq -\frac{11}{3}
\end{align*}
\]

Таким образом, выражение \(\sqrt{3x+11}\) является осмысленным, когда \(x \geq -\frac{11}{3}\).

- \(\frac{5}{\sqrt{4-x}}\): здесь мы не можем допустить, чтобы знаменатель \(\sqrt{4-x}\) равнялся нулю, так как нельзя делить на ноль.

\[
\begin{align*}
\sqrt{4-x} & \neq 0 \\
4-x & > 0 \\
-x & > -4 \\
x & < 4
\end{align*}
\]

Таким образом, выражение \(\frac{5}{\sqrt{4-x}}\) является осмысленным, когда \(x < 4\).

Совмещая оба этих условия, выражение \(\sqrt{3x+11}+\frac{5}{\sqrt{4-x}}\) будет осмысленным, когда \(x \geq -\frac{11}{3}\) и \(x < 4\).

Для прохождения проверки обе части неравенства должны быть верными одновременно. Таким образом, чтобы выражение было осмысленным, переменная \(x\) должна принимать значения в интервале \(-\frac{11}{3} \leq x < 4\).