При каких значениях x выполняется неравенство f (x) > 0 для функции f(x) = 7,5x^2 – x^3?

Aleksandrovna_6021

40

Для того чтобы определить значения x, при которых выполняется неравенство \(f""(x) > 0\) для функции \(f(x) = 7.5x^2 - x^3\), нам понадобится вычислить вторую производную данной функции и проанализировать ее знак.

Шаг 1: Вычисление первой производной \(f"(x)\)
Начнем с вычисления первой производной функции \(f(x)\), используя правило дифференцирования степенной функции и правило дифференцирования суммы и разности:

\[f"(x) = \frac{d}{dx}(7.5x^2 - x^3) = 2 \cdot 7.5x^{2-1} - 3x^{3-1}\]
\[f"(x) = 15x - 3x^2\]

Шаг 2: Вычисление второй производной \(f""(x)\)
Теперь найдем вторую производную, продифференцировав полученную первую производную по переменной x:

\[f""(x) = \frac{d}{dx}(15x - 3x^2) = 15 - 2 \cdot 3x\]
\[f""(x) = 15 - 6x\]

Шаг 3: Определение интервалов, где выполняется неравенство \(f""(x) > 0\)
Чтобы определить значения x, при которых \(f""(x) > 0\), нужно решить неравенство \(15 - 6x > 0\). Решаем это неравенство:

\[15 - 6x > 0\]
\[6x < 15\]
\[x < \frac{15}{6}\]
\[x < 2.5\]

Таким образом, неравенство \(f""(x) > 0\) выполняется при значениях x, которые меньше 2.5. Возможно значение 2.5 не входит в интервал, так как в неравенстве указан строгий знак "<". Для значений x, меньших 2.5, вторая производная \(f""(x)\) будет положительной.

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как определить значения x, при которых выполняется неравенство \(f""(x) > 0\) для функции \(f(x) = 7.5x^2 - x^3\).