При каком n векторы (2n+2;1;2) и (n;0;-2) становятся перпендикулярными?

Kosmicheskaya_Charodeyka

49

Для того чтобы векторы \((2n+2, 1, 2)\) и \((n, 0, -2)\) стали перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно нулю. То есть, необходимо решить следующее уравнение:

\((2n+2)(n) + (1)(0) + (2)(-2) = 0\)

Упрощая это уравнение, получаем:

\(2n^2 + 2n - 4 = 0\)

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\(n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

В данном случае, \(a = 2\), \(b = 2\), и \(c = -4\). Подставим эти значения в формулу и решим:

\(n = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(2)(-4)}}{2(2)}\)

Упрощая это уравнение, получаем:

\(n = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{4}\)

\(n = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{4}\)

\(n = \frac{-2 \pm 6}{4}\)

Теперь найдем два возможных значения для n:

1) \(n = \frac{-2 + 6}{4} = \frac{4}{4} = 1\)

2) \(n = \frac{-2 - 6}{4} = \frac{-8}{4} = -2\)

Таким образом, векторы \((2n+2, 1, 2)\) и \((n, 0, -2)\) становятся перпендикулярными при \(n = 1\) или \(n = -2\).