При каком предельном коэффициенте трения покоя между телом и поверхностью, тело может начать скользить по наклонной

Pelikan

49

Для решения данной задачи нам понадобится учитывать силу тяжести, силу нормальной реакции и силу трения.

Сначала рассмотрим силу тяжести \( F_г \), действующую на тело. Она равна произведению массы тела \( m \) на ускорение свободного падения \( g \):

\[ F_г = m \cdot g \]

Затем рассмотрим распад силы тяжести на компоненты, параллельные и перпендикулярные поверхности наклонной плоскости.

Сила, параллельная поверхности плоскости \( F_{пар} \), обусловливает скольжение тела. Она равна произведению коэффициента трения покоя \( \mu_п \) на силу нормальной реакции \( R \):

\[ F_{пар} = \mu_п \cdot R \]

Сила, перпендикулярная поверхности плоскости \( F_{перп} \), направлена вдоль поверхности плоскости и компенсирует часть силы тяжести, перпендикулярную плоскости. Она рассчитывается следующим образом:

\[ F_{перп} = m \cdot g \cdot \sin(\alpha) \]

где \( \alpha \) - угол наклона плоскости, равный 30 градусам.

Заметим, что тело начинает скользить по наклонной плоскости, когда сила трения покоя достигает предельного значения \( F_{пар_{пр}} \), т.е. когда \( F_{пар} = F_{пар_{пр}} \).

Теперь, чтобы определить предельное значение коэффициента трения покоя, мы должны приравнять \( F_{пар} \) и \( F_{пар_{пр}} \) и решить уравнение относительно \( \mu_п \).

\[ \mu_п \cdot R = m \cdot g \cdot \sin(\alpha) \]

Так как \( R \) можно выразить через \( m \) и \( g \) следующим образом:

\[ R = m \cdot g \cdot \cos(\alpha) \]

подставим это выражение в уравнение:

\[ \mu_п \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha) = m \cdot g \cdot \sin(\alpha) \]

После сокращений получаем:

\[ \mu_п = \tan(\alpha) \]

где \( \tan(\alpha) = \frac{{\sin(\alpha)}}{{\cos(\alpha)}} \).

Таким образом, при угле наклона плоскости 30 градусов, предельный коэффициент трения покоя между телом и поверхностью равен:

\[ \mu_п = \tan(30°) \]

Подставляем значение и вычисляем:

\[ \mu_п = \tan(30°) = 0.577 \]

Ответ: Предельный коэффициент трения покоя между телом и поверхностью равен 0.577.