Сколько трехзначных чисел можно собрать, используя только разные цифры?

Сон

55

Хорошо, чтобы определить, сколько трехзначных чисел можно собрать, используя только разные цифры, мы можем применить принцип размещения.

Принцип размещения говорит нам, что для размещения \(k\) элементов из набора из \(n\) элементов без повторений, мы можем использовать формулу:

\[A_n^k = \frac{{n!}}{{(n-k)!}}\]

Где \(!\) обозначает факториал числа. Факториал числа \(n\) обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\), включая само число \(n\).

В данной задаче, у нас 10 различных цифр (от 0 до 9), и мы хотим сформировать трехзначное число.

Таким образом, мы выбираем 3 различные цифры из 10. Используя формулу принципа размещения, мы получаем:

\[A_{10}^3 = \frac{{10!}}{{(10-3)!}} = \frac{{10!}}{{7!}}\]

Теперь, чтобы упростить выражение, нам нужно вычислить факториал числа 10, который равен:

\[10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]

Вычисляя это значение, мы получаем:

\[10! = 3628800\]

Далее, мы должны вычислить факториал числа 7, который равен:

\[7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]

Вычисляя это значение, мы получаем:

\[7! = 5040\]

Теперь мы можем подставить значения обратно в исходное выражение:

\[\frac{{10!}}{{7!}} = \frac{{3628800}}{{5040}} = 720\]

Итак, мы можем собрать 720 различных трехзначных чисел, используя только различные цифры.