При каком значении параметра a функция y=f(x) достигает наибольшего значения, равного значению функции y=g(x)?

Веселый_Клоун

26

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом. Нам нужно найти значение параметра \(a\), при котором функция \(y=f(x)\) достигает максимального значения, которое равно значению функции \(y=g(x)\).

Для начала выразим обе функции через синусы и косинусы:

\[f(x) = 7\sin(5x) - 24\cos(5x) + a - 1\]
\[g(x) = 3 - 2\cos(4x)\]

Чтобы найти максимальное значение функции \(f(x)\), мы максимизируем её выражение. Заметим, что первый и второй члены в \(f(x)\) являются синусами и косинусами с одинаковыми аргументами, поэтому мы можем использовать тригонометрическую формулу для суммы синуса и косинуса:

\[\sin(\alpha)+\cos(\alpha) = \sqrt{2}\sin\left(\alpha + \dfrac{\pi}{4}\right)\]

Применяя эту формулу, мы можем переписать функцию \(f(x)\):

\[f(x) = 8\sqrt{2}\sin\left(5x + \dfrac{\pi}{4}\right) + a - 1\]

Теперь задача сводится к нахождению значения параметра \(a\), при котором функции \(f(x)\) и \(g(x)\) равны друг другу:

\[8\sqrt{2}\sin\left(5x + \dfrac{\pi}{4}\right) + a - 1 = 3 - 2\cos(4x)\]

Чтобы найти значение \(x\), при котором этот равенство выполняется для всех \(x\), нужно приравнять коэффициенты при синусе и косинусе:

\[\cos(4x) = -8\sqrt{2}\]
\[8\sqrt{2} = a - 4\]

Выражая параметр \(a\), получим:

\[a = 8\sqrt{2} + 4\]

Таким образом, при \(a = 8\sqrt{2} + 4\) функция \(y=f(x)\) достигает наибольшего значения, равного значению функции \(y=g(x)\).