При каком значении переменной алгебраическая дробь 4 x+1/5x−15 равна нулю?

Ящерица

28

Для начала, давайте решим данную задачу шаг за шагом. У нас есть алгебраическая дробь \(\frac{4x + 1}{5x - 15}\), и нам нужно найти значение переменной \(x\), при котором эта дробь равна нулю.

Чтобы найти это значение, мы можем приравнять дробь к нулю и решить получившееся уравнение. Итак, у нас есть:

\[\frac{4x + 1}{5x - 15} = 0\]

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе стороны уравнения на \(5x - 15\):

\[(4x + 1) \cdot (5x - 15) = 0\]

Раскроем скобки:

\[20x^2 - 60x + 5x - 15 = 0\]

Сгруппируем члены:

\[20x^2 - 55x - 15 = 0\]

Теперь у нас получилось квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя факторизацию, квадратное уравнение или формулу дискриминанта.

Давайте воспользуемся формулой дискриминанта. Для уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\), дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем уравнении, \(a = 20\), \(b = -55\) и \(c = -15\). Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

\[D = (-55)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-15)\]

\[D = 3025 + 1200\]

\[D = 4225\]

Теперь, когда у нас есть значение дискриминанта \(D\), мы можем найти значения переменной \(x\), используя формулу квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения в нашу формулу:

\[x = \frac{-(-55) \pm \sqrt{4225}}{2 \cdot 20}\]

\[x = \frac{55 \pm 65}{40}\]

Теперь найдем два возможных значения переменной \(x\):

1. Подставим \(x = \frac{55 + 65}{40}\):

\[x = \frac{120}{40}\]

\[x = 3\]

2. Подставим \(x = \frac{55 - 65}{40}\):

\[x = \frac{-10}{40}\]

\[x = -\frac{1}{4}\]

Таким образом, при значениях переменной \(x = 3\) и \(x = -\frac{1}{4}\) алгебраическая дробь \(4x + \frac{1}{5x - 15}\) равна нулю.