При каком значении переменной d угол между векторами m и n составляет 45 градусов, если известно, что m имеет

Солнечный_Наркоман

68

Чтобы найти угол между векторами \(m\) и \(n\), мы можем использовать скалярное произведение. Скалярное произведение векторов определяется следующим образом:

\[
\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = \|\mathbf{m}\|\|\mathbf{n}\|\cos(\theta)
\]

где \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{n}\) - это векторы, \(\|\mathbf{m}\|\) и \(\|\mathbf{n}\|\) - это их длины, \(\theta\) - угол между ними.

Нам дано, что вектор \(\mathbf{m}\) имеет координаты {1;4}, а вектор \(\mathbf{n}\) имеет координаты {d;3}. Координаты векторов представляют собой их компоненты в пространстве.

Таким образом, мы можем записать:

\[
\mathbf{m} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}
\]
\[
\mathbf{n} = \begin{pmatrix} d \\ 3 \end{pmatrix}
\]

Чтобы найти угол \(\theta\) между векторами, нам необходимо найти значения их длин и скалярное произведение. Давайте начнем с вычисления длин векторов:

\[
\|\mathbf{m}\| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}
\]
\[
\|\mathbf{n}\| = \sqrt{d^2 + 3^2} = \sqrt{d^2 + 9}
\]

Теперь нам нужно найти скалярное произведение векторов:

\[
\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = (1)(d) + (4)(3) = d + 12
\]

Подставим все найденные значения в формулу скалярного произведения:

\[
\sqrt{17} \cdot \sqrt{d^2 + 9} \cdot \cos(45^\circ) = d + 12
\]

Так как угол между векторами составляет 45 градусов, то \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Заменим это значение:

\[
\sqrt{17} \cdot \sqrt{d^2 + 9} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = d + 12
\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно переменной \(d\). Начнем с упрощения:

\[
\sqrt{17(d^2 + 9)} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = d + 12
\]

Удалим корень из обоих сторон уравнения, возведя в квадрат:

\[
\frac{17(d^2 + 9)}{2} = (d + 12)^2
\]

Распространим скобки:

\[
\frac{17d^2 + 153}{2} = d^2 + 24d + 144
\]

Перенесем все термины на одну сторону уравнения:

\[
17d^2 + 153 = 2d^2 + 48d + 288
\]

Соберем все квадраты и упростим:

\[
15d^2 - 48d - 135 = 0
\]

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение для переменной \(d\). Мы можем использовать дискриминант для определения решений:

\[
D = (-48)^2 - 4(15)(-135) = 2304 + 8100 = 10404
\]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два вещественных решения:

\[
d_1 = \frac{-(-48) + \sqrt{10404}}{2(15)} = \frac{48 + 102}{30} = \frac{150}{30} = 5
\]
\[
d_2 = \frac{-(-48) - \sqrt{10404}}{2(15)} = \frac{48 - 102}{30} = \frac{-54}{30} = -\frac{9}{5}
\]

Таким образом, при \(d = 5\) или \(d = -\frac{9}{5}\) угол между векторами \(m\) и \(n\) составляет 45 градусов.