При каком значении x будут последовательными членами геометрической прогрессии выражения x − 3, x + 4 и 2x − 40? Какие

Elena

13

Чтобы определить значения x, при которых выражения x - 3, x + 4 и 2x - 40 будут последовательными членами геометрической прогрессии, нужно сначала проверить, выполняется ли основное свойство геометрической прогрессии. Оно заключается в том, что отношение любых двух соседних членов прогрессии должно быть постоянным.

Давайте посмотрим на отношение между первым и вторым членами:
\[\frac{{(x + 4) - (x - 3)}}{{x - 3}}\]

Simplifying:
\[\frac{7}{{x - 3}}\]

Теперь посмотрим на отношение между вторым и третьим членами:
\[\frac{{(2x - 40) - (x + 4)}}{{x + 4}}\]

Simplifying:
\[\frac{{x - 44}}{{x + 4}}\]

Чтобы эти два отношения были равны, мы можем приравнять их и решить уравнение:
\[\frac{7}{{x - 3}} = \frac{{x - 44}}{{x + 4}}\]

Умножим оба выражения на (x - 3)(x + 4), чтобы убрать знаменатели:
\[7(x + 4) = (x - 44)(x - 3)\]

Раскрыв скобки и упростив уравнение, получим:
\[7x + 28 = x^2 - 47x + 132\]

Приведем уравнение к квадратному виду:
\[x^2 - 54x + 104 = 0\]

Далее, решим это квадратное уравнение. Произведение корней равно константе при \(x^2\), а сумма корней равна:
\[\frac{54}{1} = 54\]

Таким образом, чтобы найти значения x, нам нужно решить следующее квадратное уравнение:
\[x^2 - 54x + 104 = 0\]

Решим его с помощью стандартной квадратной формулы:
\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

В нашем случае:
\[a = 1, b = -54, c = 104\]

Подставим значения в формулу, чтобы найти корни:
\[x = \frac{{-(-54) \pm \sqrt{{(-54)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 104}}}}{{2 \cdot 1}}\]

Упростим выражение:
\[x = \frac{{54 \pm \sqrt{{2916 - 416}}}}{2}\]
\[x = \frac{{54 \pm \sqrt{{2500}}}}{2}\]
\[x = \frac{{54 \pm 50}}{2}\]

Теперь решим два уравнения отдельно:
1) \(x = \frac{{54 + 50}}{2} = \frac{{104}}{2} = 52\)
2) \(x = \frac{{54 - 50}}{2} = \frac{{4}}{2} = 2\)

Таким образом, при значениях x = 2 и x = 52, выражения x - 3, x + 4 и 2x - 40 будут последовательными членами геометрической прогрессии.

Давайте также найдем значения этих членов для каждого значения x:
1. При x = 2:
- Первый член: \(x - 3 = 2 - 3 = -1\)
- Второй член: \(x + 4 = 2 + 4 = 6\)
- Третий член: \(2x - 40 = 2 \cdot 2 - 40 = -36\)

2. При x = 52:
- Первый член: \(x - 3 = 52 - 3 = 49\)
- Второй член: \(x + 4 = 52 + 4 = 56\)
- Третий член: \(2x - 40 = 2 \cdot 52 - 40 = 64\)

Таким образом, при x = 2, значениями членов прогрессии будут -1, 6 и -36, а при x = 52 значениями будут 49, 56 и 64.