При какой примерно полной энергии составляет колебания, если материальная точка массой 4 г совершает колебание

Viktoriya

41

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать некоторые соотношения из теории колебаний.

Уравнение колебания дано в виде \(x(t) = A \sin(wt + \frac{P}{6})\), где:
\(x(t)\) - положение материальной точки в момент времени \(t\),
\(A\) - амплитуда колебаний,
\(w\) - циклическая частота,
\(P\) - начальная фаза колебаний.

Из уравнения видно, что циклическая частота равна \(w = \frac{2\pi}{T}\), где \(T\) - период колебаний.

В нашем случае, период равен 12 секундам, поэтому:

\[w = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}\]

Теперь давайте найдем полную энергию колебаний. Полная энергия колебаний складывается из потенциальной и кинетической энергии.

Потенциальная энергия материальной точки при колебаниях определяется формулой: \(E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} k A^2\),
где \(k\) - коэффициент упругости среды, \(A\) - амплитуда колебаний.

Кинетическая энергия материальной точки при колебаниях определяется формулой: \(E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v^2\),
где \(m\) - масса материальной точки, \(v\) - скорость материальной точки.

Масса материальной точки дана равной 4 г (4 г = 0.004 кг).

Чтобы найти скорость материальной точки, мы можем использовать производную от уравнения колебаний. Производная от \(x(t)\) по времени \(t\) дает нам скорость \(v(t)\) материальной точки.
Дифференцируя уравнение колебаний, получим:

\[v(t) = A w \cos(wt + \frac{P}{6})\]

Теперь, найдя скорость, мы можем вычислить кинетическую энергию. Подставляем полученное значение \(v(t)\) в формулу для кинетической энергии:

\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.004 \cdot (A w \cos(wt + \frac{P}{6}))^2 = 0.002 \cdot A^2 \cdot w^2 \cdot \cos^2(wt + \frac{P}{6})\]

Теперь осталось найти потенциальную энергию, подставив значения \(A\) и \(w\) в формулу:

\[E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} k A^2\]

Полная энергия колебаний равна сумме потенциальной и кинетической энергий:

\[E_{\text{полн}} = E_{\text{пот}} + E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} k A^2 + 0.002 \cdot A^2 \cdot w^2 \cdot \cos^2(wt + \frac{P}{6})\]

Таким образом, полная энергия колебаний в заданный момент времени \(t\) равна \(E_{\text{полн}} = \frac{1}{2} k A^2 + 0.002 \cdot A^2 \cdot w^2 \cdot \cos^2(wt + \frac{P}{6})\).