При какой величине d система уравнений имеет единственное решение?

Magiya_Morya_2467

46

Чтобы определить, при какой величине d система уравнений имеет единственное решение, нам необходимо рассмотреть линейную систему уравнений и применить метод Гаусса-Жордана.

Допустим, у нас есть система уравнений:

\[
\begin{align*}
a_1x + b_1y + c_1z &= d_1 \\
a_2x + b_2y + c_2z &= d_2 \\
a_3x + b_3y + c_3z &= d_3 \\
\end{align*}
\]

Мы можем записать эту систему в матричной форме:

\[
\begin{bmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
d_1 \\
d_2 \\
d_3 \\
\end{bmatrix}
\]

Чтобы привести данную матрицу к ступенчатому виду и выполнить метод Гаусса-Жордана, мы можем применить следующие элементарные преобразования строк:

1. Умножение строки на ненулевое число.
2. Прибавление к одной строке другой, умноженной на число.

Наша цель - привести матрицу к ступенчатому виду, где каждая строка, содержащая не нулевые элементы, начинается с единицы, а все элементы под единицы равны нулю.

Пошагово решим эту систему. Для простоты, предположим значения коэффициентов \(a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, c_1, c_2, c_3\) равны единице:

1. Приведем матрицу к ступенчатому виду:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
d_1 \\
d_2 \\
d_3 \\
\end{bmatrix}
\]

Путем вычитания первой строки из второй и третьей, получим:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
d_1 \\
d_2 - d_1 \\
d_3 - d_1 \\
\end{bmatrix}
\]

2. Поскольку вторая и третья строки нулевые, их можно проигнорировать. Теперь у нас осталось только одно уравнение в переменных x, y и z, и его значение полностью зависит от значений \(d_1, d_2\) и \(d_3\).

Для того чтобы система имела единственное решение, нам необходимо, чтобы последний столбец в матрице был ненулевым. Иначе говоря, \(d_3 - d_1\) должно быть ненулевым. При таких условиях система имеет единственное решение.

Возвращаясь к первоначальной формулировке задачи, при какой величине d система имеет единственное решение - это происходит, когда \(d_3 - d_1 \neq 0\).