При якій температурі однакова довжина стержнів зі сталі та цинку? Хочу знати, при якій температурі довжини обох

Шарик

62

Для розв"язання задачі нам необхідно знайти температуру, при якій довжина стержнів буде однаковою. Для цього визначимо залежність довжини стержнів від температури.

Довжина стержня $L$ може бути визначена за допомогою формули:

$$L=L_0\cdot (1+\alpha \cdot \mathrm{\Delta }T)$$

де $L_0$ - початкова довжина стержня, $\alpha$ - коефіцієнт лінійного розширення, а $\mathrm{\Delta }T$ - різниця температур (температура стержня мінус початкова температура).

Для сталі маємо:

$$L_{\text{сталь}}=50\text{см}\cdot (1+12\cdot {10}^{-6}\cdot \mathrm{\Delta }T)$$

Для цинку маємо:

$$L_{\text{цинк}}=50.2\text{см}\cdot (1+29\cdot {10}^{-6}\cdot \mathrm{\Delta }T)$$

Температура, при якій довжини стержнів будуть рівними, можна знайти, прирівнявши формули для довжин стержнів та вирішивши рівняння:

$$50\cdot (1+12\cdot {10}^{-6}\cdot \mathrm{\Delta }T)=50.2\cdot (1+29\cdot {10}^{-6}\cdot \mathrm{\Delta }T)$$

Розв"яжемо рівняння для знаходження $\mathrm{\Delta }T$:

$$50+600\cdot {10}^{-6}\cdot \mathrm{\Delta }T=50.2+1458\cdot {10}^{-6}\cdot \mathrm{\Delta }T$$

Віднімемо від обох частин рівняння $50$ та перенесемо вправо всі члени з $\mathrm{\Delta }T$:

$$600\cdot {10}^{-6}\cdot \mathrm{\Delta }T-1458\cdot {10}^{-6}\cdot \mathrm{\Delta }T=50.2-50$$

$$858\cdot {10}^{-6}\cdot \mathrm{\Delta }T=0.2$$

$$0.000858\cdot \mathrm{\Delta }T=0.2$$

Ділимо обидві частини рівняння на $0.000858$ для знаходження $\mathrm{\Delta }T$:

$$\mathrm{\Delta }T=\frac{0.2}{0.000858}$$

$$\mathrm{\Delta }T\approx 232.84$$

Тому, при температурі приблизно $232.84\text{градуси Цельсія}$ довжини сталевого і цинкового стержнів будуть рівними.