При якій температурі однакова довжина стержнів зі сталі та цинку? Хочу знати, при якій температурі довжини обох
При якій температурі однакова довжина стержнів зі сталі та цинку? Хочу знати, при якій температурі довжини обох стержнів будуть рівними. Відомо, що довжина сталевого стержня при температурі 100 0 С дорівнює 50 см, а цинкового - 50,2 см. Коефіцієнт лінійного розширення сталі становить 12·10 -6 1/К, а для цинку - 29·10 -6 1/К.
Шарик 62
Для розв"язання задачі нам необхідно знайти температуру, при якій довжина стержнів буде однаковою. Для цього визначимо залежність довжини стержнів від температури.Довжина стержня \(L\) може бути визначена за допомогою формули:
\[L = L_0 \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta T)\]
де \(L_0\) - початкова довжина стержня, \(\alpha\) - коефіцієнт лінійного розширення, а \(\Delta T\) - різниця температур (температура стержня мінус початкова температура).
Для сталі маємо:
\[L_{\text{сталь}} = 50 \, \text{см} \cdot (1 + 12 \cdot 10^{-6} \cdot \Delta T)\]
Для цинку маємо:
\[L_{\text{цинк}} = 50.2 \, \text{см} \cdot (1 + 29 \cdot 10^{-6} \cdot \Delta T)\]
Температура, при якій довжини стержнів будуть рівними, можна знайти, прирівнявши формули для довжин стержнів та вирішивши рівняння:
\[50 \cdot (1 + 12 \cdot 10^{-6} \cdot \Delta T) = 50.2 \cdot (1 + 29 \cdot 10^{-6} \cdot \Delta T)\]
Розв"яжемо рівняння для знаходження \(\Delta T\):
\[50 + 600 \cdot 10^{-6} \cdot \Delta T = 50.2 + 1458 \cdot 10^{-6} \cdot \Delta T\]
Віднімемо від обох частин рівняння \(50\) та перенесемо вправо всі члени з \(\Delta T\):
\[600 \cdot 10^{-6} \cdot \Delta T - 1458 \cdot 10^{-6} \cdot \Delta T = 50.2 - 50\]
\[858 \cdot 10^{-6} \cdot \Delta T = 0.2\]
\[0.000858 \cdot \Delta T = 0.2\]
Ділимо обидві частини рівняння на \(0.000858\) для знаходження \(\Delta T\):
\[\Delta T = \frac{{0.2}}{{0.000858}}\]
\[\Delta T \approx 232.84\]
Тому, при температурі приблизно \(232.84 \, \text{градуси Цельсія}\) довжини сталевого і цинкового стержнів будуть рівними.