При якій температурі води потрібно занурити гумову кульку, наповнену повітрям при 27 градусах Цельсія, щоб об єм кульки
При якій температурі води потрібно занурити гумову кульку, наповнену повітрям при 27 градусах Цельсія, щоб об"єм кульки зменшився на 10%? Припустимо, що атмосферний тиск становить 100кПа. Знехтуйте впливом пружності гуми.
Sovunya 20
Для решения этой задачи мы можем использовать закон Бойля-Мариотта, который гласит, что при постоянной температуре и массе газа, объем газа обратно пропорционален его давлению.Мы знаем, что атмосферное давление составляет 100 кПа, а пусть V_1 будет изначальным объемом кульки, а V_2 - искомым объемом после погружения в воду. Пусть x будет температурой воды в градусах Цельсия.
Закон Бойля-Мариотта может быть записан следующим образом:
\[ P_1 \cdot V_1 = P_2 \cdot V_2 \]
Где P_1 и P_2 - давление газа в начальном и конечном состоянии соответственно.
Теперь давайте разберемся, как изменится объем газа кульки после ее погружения в воду.
Задача говорит нам, что объем кульки уменьшился на 10%. Мы можем рассчитать новый объем кульки, используя формулу:
\[ V_2 = V_1 - 0.1 \cdot V_1 = 0.9 \cdot V_1 \]
Мы можем представить атмосферное давление как сумму давления воздуха внутри кульки и давления воды на всю ее поверхность. Тогда в начальном состоянии:
\[ P_1 = P_{возд} + P_{атм} \]
А в конечном состоянии:
\[ P_2 = P_{воды} + P_{атм} \]
Где P_{возд} и P_{воды} - давление воздуха и воды на поверхность кульки.
Поскольку исключаем влияние пружности гуми, расширение кульки и изменение объема происходит только за счет изменения давления внутри нее при погружении в воду. Следовательно, P_{возд} остается неизменным.
В итоге, мы можем записать систему уравнений:
\[ P_{возд} + P_{атм} \cdot V_1 = P_{воды} + P_{атм} \cdot V_2 \]
\[ P_{возд} + 100 \cdot V_1 = P_{воды} + 100 \cdot 0.9 \cdot V_1 \]
\[ V_1 = \frac{P_{воды} - P_{возд}}{100} \]
\[ V_2 = \frac{P_{воды} - P_{возд}}{100} \cdot 0.9 \]
Теперь нам нужно выразить P_{воды} через температуру x воды. Для этого мы можем использовать формулу Гей-Люссака, которая устанавливает, что при постоянном давлении, объем газа пропорционален его температуре:
\[ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \]
Так как объем не меняется, у нас есть:
\[ T_1 = T_2 \]
\[ 27 + 273.15 = x + 273.15 \]
\[ x = 27 \]
Таким образом, мы можем решить систему уравнений, подставив x = 27:
\[ V_1 = \frac{P_{воды} - P_{возд}}{100} \]
\[ V_2 = \frac{P_{воды} - P_{возд}}{100} \cdot 0.9 \]
Подставим V_1 и V_2 в уравнение Бойля-Мариотта:
\[ P_{воды} \cdot V_1 = P_{воды} \cdot V_2 \]
\[ \frac{P_{воды} - P_{возд}}{100} \cdot 27 = \frac{P_{воды} - P_{возд}}{100} \cdot 0.9 \cdot 27 \]
\[ P_{воды} - P_{возд} = 0.9 \cdot P_{воды} - 0.9 \cdot P_{возд} \]
\[ 0.1 \cdot P_{воды} = 0.1 \cdot P_{возд} \]
\[ P_{воды} = P_{возд} \]
Таким образом, давление воды должно быть равным атмосферному давлению (100 кПа), чтобы объем кульки уменьшился на 10% при погружении ее в воду при температуре 27 градусов Цельсия.