При заданных условиях, если нагреть меньшую часть сосуда на 50 К, а большую охладить на 67 К, в каком отношении поршень

Yakorica

25

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон Гей-Люссака, также известный как закон Шарля. Согласно этому закону, объем газа при постоянном давлении пропорционален его температуре. Другими словами, если мы изменяем температуру газа, то его объем тоже меняется пропорционально.

Пусть \(V_1\) - объем меньшей части сосуда и \(V_2\) - объем большей части сосуда. Мы знаем, что нагрев меньшей части сосуда на 50 К увеличивает его объем, а охлаждение большей части на 67 К уменьшает его объем.

По закону Гей-Люссака, можно записать следующее уравнение:

\(\frac{{V_1 + \Delta V_1}}{{V_2 + \Delta V_2}} = \frac{{T_1 + \Delta T_1}}{{T_2 + \Delta T_2}}\),

где \(\Delta V_1\) - изменение объема меньшей части сосуда, \(\Delta V_2\) - изменение объема большей части сосуда, \(T_1\) - исходная температура меньшей части сосуда, \(T_2\) - исходная температура большей части сосуда, \(\Delta T_1\) - изменение температуры меньшей части сосуда, \(\Delta T_2\) - изменение температуры большей части сосуда.

Мы знаем, что \(\Delta T_1 = 50\) K и \(\Delta T_2 = -67\) K.

Теперь мы можем подставить эти значения в уравнение:

\(\frac{{V_1 + \Delta V_1}}{{V_2 + \Delta V_2}} = \frac{{T_1 + \Delta T_1}}{{T_2 + \Delta T_2}}\).

\(\frac{{V_1 + \Delta V_1}}{{V_2 + \Delta V_2}} = \frac{{T_1 + 50}}{{T_2 - 67}}\).

Учитывая, что нагрев меньшей части сосуда увеличивает ее объем, а охлаждение большей части - уменьшает, мы можем записать:

\(\Delta V_1 = \alpha \cdot V_1\) (где \(\alpha\) - некоторый коэффициент) и \(\Delta V_2 = -\beta \cdot V_2\) (где \(\beta\) - некоторый коэффициент).

Теперь мы можем переписать уравнение:

\(\frac{{V_1 + \alpha \cdot V_1}}{{V_2 - \beta \cdot V_2}} = \frac{{T_1 + 50}}{{T_2 - 67}}\).

Далее, объединим похожие слагаемые и вынесем объемы за скобки:

\(\frac{{(1 + \alpha) \cdot V_1}}{{(1 - \beta) \cdot V_2}} = \frac{{T_1 + 50}}{{T_2 - 67}}\).

Теперь у нас есть уравнение с двумя неизвестными \(\alpha\) и \(\beta\).

Однако, в нашем случае мы можем заметить, что соотношение объемов между меньшей и большей частями сосуда остается неизменным после нагрева и охлаждения. Иначе говоря:

\(\frac{{V_1}}{{V_2}} = \frac{{V_1 + \alpha \cdot V_1}}{{V_2 - \beta \cdot V_2}}\).

\(\frac{{V_1}}{{V_2}} = \frac{{1 + \alpha}}{{1 - \beta}}\).

Используя это соотношение, мы можем найти значения \(\alpha\) и \(\beta\):

\(\alpha = \frac{{V_1 \cdot V_2}}{{V_2 - V_1}} - 1\),

\(\beta = \frac{{V_1 \cdot V_2}}{{V_1 - V_2}}\).

Подставим значения \(V_1 = 9\) и \(V_2 = 11\) в эти формулы:

\(\alpha = \frac{{9 \cdot 11}}{{11 - 9}} - 1 = \frac{{99}}{{2}} - 1 = \frac{{97}}{{2}}\),

\(\beta = \frac{{9 \cdot 11}}{{9 - 11}} = \frac{{99}}{{-2}} = -\frac{{99}}{{2}}\).

Теперь, чтобы найти отношение, в котором поршень разделит сосуд, используем \(коэффициент\). Проверяем соответствие отношения объемов \(\frac{{V_1}}{{V_2}}\) с данными в условии задачи:

\(\alpha = \frac{{97}}{{2}}\), \(\beta = -\frac{{99}}{{2}}\).

Подставим значения и округлим полученное отношение до ближайшего целого числа:

\(\frac{{V_1}}{{V_2}} = \frac{{9}}{{11}} \approx 0.818\),

Исходя из этой информации, мы можем видеть, что ответ на задачу составляет

\[\frac{{9}}{{11}} \approx 0.818,\]

что соответствует отношению 9:11.