При заполнении резервуара водой на половину его высоты, какой путь переместился поршень при отсутствии трения

Даниил

9

Для решения данной задачи нам понадобится применить принцип Паскаля, который гласит, что в равновесии давление в жидкости на любой глубине одинаково и зависит только от высоты столба жидкости над этой точкой.

Для начала разберемся с данными задачи. Известно, что резервуар был заполнен водой на половину его высоты, то есть вода занимает половину объема резервуара. Другие данные, такие как размеры резервуара и температура, остались неизменными, но не влияют на решение данной задачи.

Высота столба жидкости в резервуаре будет равна половине высоты резервуара, обозначим это значение как \(h\). В данной задаче нам нужно найти путь перемещения поршня, который будет являться максимальным расстоянием, на которое можно сместить поршень без изменения давления.

Для начала, давайте разберемся с давлением в данной системе. Давление на дно резервуара \(P_1\) можно выразить с помощью формулы давления жидкости:

\[P_1 = P_0 + \rho gh,\]

где \(P_0\) - давление на поверхности воды (атмосферное давление), \(\rho\) - плотность жидкости, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота столба жидкости.

Так как резервуар заполнен водой на половину его высоты, высота столба жидкости равна \(h/2\). Подставим это значение в формулу:

\[P_1 = P_0 + \rho g \cdot \frac{h}{2}.\]

Согласно принципу Паскаля, давление на поршень будет также равно \(P_1\). Теперь, чтобы найти путь перемещения поршня, давайте вычислим изменение давления при смещении поршня на расстояние \(x\).

Изменение давления \(\Delta P\) можно выразить через изменение высоты столба жидкости \(\Delta h\) по формуле:

\[\Delta P = \rho g \cdot \Delta h.\]

Мы хотим, чтобы наш поршень оставался в равновесии, что означает, что давление на поршень должно оставаться постоянным. Поэтому изменение давления \(\Delta P\) должно быть равно нулю:

\[\Delta P = \rho g \cdot \Delta h = 0.\]

Так как мы рассматриваем систему без трения, изменение высоты столба жидкости \(\Delta h\) будет равно перемещению поршня \(x\):

\[\Delta h = x.\]

Теперь мы можем записать равенство:

\[\rho g \cdot x = 0.\]

Так как \(\rho\) и \(g\) - постоянные значения, мы можем сократить их:

\[x = 0.\]

Полученное уравнение говорит нам, что изменение высоты столба жидкости (путь перемещения поршня) равно нулю. То есть, при отсутствии трения и изменении давления, поршень не перемещается - его путь равен нулю.

Таким образом, ответ на задачу: при заполнении резервуара водой на половину его высоты, путь перемещения поршня при отсутствии трения и изменении давления равен нулю.