Прикладні відповіді користувачеві: Потрібно знайти всі дійсні значення параметра p, при кожному з яких рівняння

  • 54
Прикладні відповіді користувачеві:

Потрібно знайти всі дійсні значення параметра p, при кожному з яких рівняння sin^2*px/6+2(p-5)*cos*px/6-p^2+10p-25=0 має два різних корені на відрізку [10;20].
Магический_Трюк
4
Добро пожаловать! Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

У нас дано уравнение: \( \sin^2 \frac{px}{6} + 2(p-5)\cos \frac{px}{6} - p^2 + 10p - 25 = 0 \).

Чтобы найти все действительные значения параметра \( p \), при которых уравнение имеет два различных корня на отрезке [10; 20], нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Заменить \( \sin^2 \frac{px}{6} \) на \( 1 - \cos^2 \frac{px}{6} \).
Уравнение теперь станет: \( 1 - \cos^2 \frac{px}{6} + 2(p-5)\cos \frac{px}{6} - p^2 + 10p - 25 = 0 \).

Шаг 2: Заменить \( \cos \frac{px}{6} \) на \( t \).
Уравнение теперь будет выглядеть так: \( 1 - t^2 + 2(p-5)t - p^2 + 10p - 25 = 0 \).

Шаг 3: Переписать уравнение в виде квадратного уравнения относительно \( t \).
\( -t^2 + 2(p-5)t - p^2 + 10p - 24 = 0 \).

Шаг 4: Применить дискриминант \( D \), чтобы решить квадратное уравнение.
\( D = b^2 - 4ac \), где \( a = -1 \), \( b = 2(p-5) \), \( c = -p^2 + 10p - 24 \).

Корни квадратного уравнения будут различными, если \( D > 0 \).

Шаг 5: Запишем неравенство \( D > 0 \) и решим его.
\( b^2 - 4ac > 0 \).

Вставим значения \( a \), \( b \) и \( c \) в неравенство:
\( (2(p-5))^2 - 4(-1)(-p^2 + 10p - 24) > 0 \).

Раскроем скобки и упростим:
\( 4(p^2 - 10p + 25) - 4(p^2 - 10p + 24) > 0 \).

Упрощаем:
\( 4 > 0 \).

Так как данное утверждение истинно для любого значения \( p \), получаем, что уравнение имеет два различных корня на отрезке [10; 20] для всех действительных значений \( p \) в этом интервале.

Итак, ответ на задачу: уравнение \( \sin^2 \frac{px}{6} + 2(p-5)\cos \frac{px}{6} - p^2 + 10p - 25 = 0 \) имеет два различных корня на отрезке [10; 20] для любого действительного значения параметра \( p \) в этом интервале.