Продемонстрируйте, что функция у=sin x является монотонной на интервале [4;5

Загадочная_Сова

31

Для демонстрации того, что функция \(y = \sin x\) является монотонной на интервале \([4; 5]\), нам необходимо проанализировать ее график и убедиться в том, что значения функции возрастают или убывают на заданном интервале.

Шаг 1: Найдем первую производную функции \(y = \sin x\) по переменной \(x\). Дифференцируя функцию, получим:

\[\frac{dy}{dx} = \cos x\]

Шаг 2: Оценим знак производной на интервале \([4; 5]\). Для этого выберем точку \(x_1\) внутри интервала, например, \(x_1 = 4.5\). Определим значение производной \(\frac{dy}{dx}\) в этой точке:

\[\frac{dy}{dx}\Bigr|_{x=4.5} = \cos 4.5 \approx -0.2108\]

Таким образом, мы видим, что производная отрицательна в точке \(x=4.5\).

Шаг 3: Обратим внимание на то, что функция \(\cos x\) является непрерывной на всей числовой оси, и ее значение изменяется от \(-1\) до \(1\). Когда \(\cos x < 0\), это означает, что наша исходная функция \(\sin x\) будет убывать на заданном интервале.

Шаг 4: Исходя из этого, мы можем заключить, что функция \(y = \sin x\) является монотонной убывающей на интервале \([4; 5]\).

Данное объяснение демонстрирует, что функция \(y = \sin x\) является монотонной на интервале \([4; 5]\), в данном случае она убывает.