Проведите исследование функции и постройте график для следующей функции: f(x) = -0,5x2 + 2x + 6. Если возможно

Радуга_На_Земле

48

Хорошо! Давайте проведем исследование функции \(f(x) = -0,5x^2 + 2x + 6\) и построим ее график.

1. Начнем с определения домена функции. Функция \(f(x)\) является квадратичной функцией, и в данном случае не существуют ограничения на значения переменной \(x\). То есть, домен функции \(f(x)\) является множеством всех действительных чисел \(\mathbb{R}\).

2. Далее, рассмотрим нули функции \(f(x)\). Нули функции находятся путем решения уравнения \(f(x) = 0\). Подставим \(f(x) = 0\) и решим уравнение:

\[-0,5x^2 + 2x + 6 = 0.\]

Мы можем решить это уравнение, используя факторизацию, метод квадратного трехчлена или квадратное уравнение. В данном случае, я воспользуюсь методом квадратного трехчлена. Делим коэффициент перед \(x^2\) на 2: \(-0,5/2 = -0,25\). Затем возводим этот результат в квадрат:

\((-0,25)^2 = 0,0625\).

Добавляем и вычитаем эту же величину в уравнение:

\[-0,5x^2 + 2x + 6 + 0,0625 - 0,0625 = 0.\]

Теперь выражение переписывается следующим образом:

\[-0,5x^2 + 2x + 0,0625 + 6 - 0,0625 = 0.\]

Далее, мы можем группировать первые три и последние два элемента:

\[-0,5(x^2 - 4x + 0,0625) + 0,0625 + 6 = 0.\]

Факторизуем выражение \(x^2 - 4x + 0,0625\):

\(x^2 - 4x + 0,0625 = (x - 2)^2\).

Теперь мы можем переписать уравнение следующим образом:

\[-0,5(x - 2)^2 + 0,0625 + 6 = 0.\]

Упростим это уравнение:

\[-0,5(x - 2)^2 + 6,0625 = 0.\]

Теперь выразим \(x - 2\):

\[-0,5(x - 2)^2 = -6,0625.\]

Разделим обе части уравнения на \(-0,5\):

\[(x - 2)^2 = 12,125.\]

Извлечем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\(x - 2 = \pm\sqrt{12,125}\).

Теперь добавим 2 к обоим сторонам:

\(x = 2 \pm\sqrt{12,125}\).

Итак, мы нашли два значения \(x\), которые являются нулями функции \(f(x)\):

\(x_1 = 2 + \sqrt{12,125}\) и \(x_2 = 2 - \sqrt{12,125}\).

3. Теперь рассмотрим вершину параболы. Введем функцию в каноническую форму, чтобы найти координаты вершины:

\(f(x) = -0,5(x - 2)^2 + 6,0625\).

Нетрудно заметить, что вершина параболы находится в точке \((2, 6,0625)\). Это является минимумом функции, так как коэффициент перед \((x - 2)^2\) отрицателен.

4. Теперь найдем координаты дополнительных точек для построения графика. Мы можем выбрать несколько значений \(x\) и вычислить соответствующие значения \(f(x)\). Например:

\(x = 0: f(0) = -0,5(0 - 2)^2 + 6,0625 = 6,0625\),
\(x = 1: f(1) = -0,5(1 - 2)^2 + 6,0625 = 5,5625\),
\(x = 3: f(3) = -0,5(3 - 2)^2 + 6,0625 = 5,5625\),
\(x = 4: f(4) = -0,5(4 - 2)^2 + 6,0625 = 6,0625\).

Теперь у нас есть некоторые координаты для построения графика.

5. После проведения исследования и нахождения нулей, вершины и дополнительных точек, мы можем построить график функции \(f(x) = -0,5x^2 + 2x + 6\):

\[G(n, f(n))\]
\[G(0, 6,0625)\]
\[G(1, 5,5625)\]
\[G(2, 6,0625)\]
\[G(3, 5,5625)\]
\[G(4, 6,0625)\]

Теперь я приложу график функции \(f(x)\).

\[
\begin{{array}}{{cc}}
x & f(x) \\
\hline
0 & 6.0625 \\
1 & 5.5625 \\
2 & 6.0625 \\
3 & 5.5625 \\
4 & 6.0625 \\
\end{{array}}
\]

\[-------------------------------------------------\]

\[ График будет тут ]

\[-------------------------------------------------\]

Таким образом, мы выполнили исследование функции \(f(x) = -0,5x^2 + 2x + 6\) и построили ее график. Надеюсь, это будет полезной информацией для вас!