Как определить результат возведения в 4-ю степень выражения (3/4a+1/3b)?

Veselyy_Kloun

23

Хорошо, давайте пошагово решим эту задачу.

Шаг 1: Возведение в 4-ю степень означает, что нам нужно умножить данное выражение само на себя три раза.

Шаг 2: Начнем с вычисления квадрата данного выражения. Чтобы получить квадрат, мы должны умножить это выражение на само себя.

\(\left(\dfrac{3}{4a} + \dfrac{1}{3b}\right)^2 = \left(\dfrac{3}{4a} + \dfrac{1}{3b}\right) \times \left(\dfrac{3}{4a} + \dfrac{1}{3b}\right)\)

Шаг 3: Теперь у нас есть два слагаемых, которые нужно умножить друг на друга. Используем метод FOIL (перемножение первых, внешних, внутренних и последних слагаемых) для раскрытия скобок.

\(\left(\dfrac{3}{4a} + \dfrac{1}{3b}\right) \times \left(\dfrac{3}{4a} + \dfrac{1}{3b}\right) = \left(\dfrac{3}{4a} \times \dfrac{3}{4a}\right) + \left(\dfrac{3}{4a} \times \dfrac{1}{3b}\right) + \left(\dfrac{1}{3b} \times \dfrac{3}{4a}\right) + \left(\dfrac{1}{3b} \times \dfrac{1}{3b}\right)\)

Шаг 4: Теперь упростим каждое слагаемое, учитывая правила умножения дробей и объединения подобных членов.

\(\left(\dfrac{3}{4a} \times \dfrac{3}{4a}\right) = \dfrac{9}{16a^2}\)

\(\left(\dfrac{3}{4a} \times \dfrac{1}{3b}\right) = \dfrac{1}{4ab}\)

\(\left(\dfrac{1}{3b} \times \dfrac{3}{4a}\right) = \dfrac{1}{4ab}\)

\(\left(\dfrac{1}{3b} \times \dfrac{1}{3b}\right) = \dfrac{1}{9b^2}\)

Шаг 5: Теперь сложим все упрощенные слагаемые вместе.

\(\dfrac{9}{16a^2} + \dfrac{1}{4ab} + \dfrac{1}{4ab} + \dfrac{1}{9b^2}\)

Шаг 6: Чтобы сложить эти дроби, нужно найти их общий знаменатель и привести все слагаемые к нему.

Общим знаменателем будет \(16a^2 \cdot 4ab \cdot 4ab \cdot 9b^2\). Теперь приведем каждое слагаемое к общему знаменателю:

\(\dfrac{9}{16a^2} = \dfrac{9 \cdot 4ab \cdot 4ab \cdot 9b^2}{16a^2 \cdot 4ab \cdot 4ab \cdot 9b^2} = \dfrac{1296a^2b^2}{2304a^2b^2}\)

\(\dfrac{1}{4ab} = \dfrac{1 \cdot 16a^2 \cdot 4ab \cdot 9b^2}{16a^2 \cdot 4ab \cdot 4ab \cdot 9b^2} = \dfrac{576a^2b^2}{2304a^2b^2}\)

\(\dfrac{1}{4ab} = \dfrac{1 \cdot 16a^2 \cdot 4ab \cdot 9b^2}{16a^2 \cdot 4ab \cdot 4ab \cdot 9b^2} = \dfrac{576a^2b^2}{2304a^2b^2}\)

\(\dfrac{1}{9b^2} = \dfrac{1 \cdot 16a^2 \cdot 4ab \cdot 4ab \cdot 9b^2}{16a^2 \cdot 4ab \cdot 4ab \cdot 9b^2} = \dfrac{256ab^2}{2304a^2b^2}\)

Шаг 7: Теперь, когда у нас есть все слагаемые с одинаковым знаменателем, мы можем сложить их.

\(\dfrac{1296a^2b^2}{2304a^2b^2} + \dfrac{576a^2b^2}{2304a^2b^2} + \dfrac{576a^2b^2}{2304a^2b^2} + \dfrac{256ab^2}{2304a^2b^2}\)

Сложим числители:

\(\dfrac{1296a^2b^2 + 576a^2b^2 + 576a^2b^2 + 256ab^2}{2304a^2b^2}\)

Шаг 8: Объединим все числители:

\(\dfrac{2696a^2b^2 + 256ab^2}{2304a^2b^2}\)

Шаг 9: В итоге получили результат возведения в 4-ю степень данного выражения:

\(\left(\dfrac{3}{4a} + \dfrac{1}{3b}\right)^4 = \dfrac{2696a^2b^2 + 256ab^2}{2304a^2b^2}\)

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как определить результат возведения выражения \(\left(\dfrac{3}{4a} + \dfrac{1}{3b}\right)\) в 4-ю степень.