Ребята, требуется провести исследование данной функции с помощью методов дифференциального исчисления и построить

Таинственный_Лепрекон

37

Хорошо, давайте проведем исследование данной функции с помощью дифференциального исчисления и построим ее график.

Начнем с вычисления производной функции. Для функции \(y = \frac{4x}{16} + x^2\) мы должны применить правила дифференцирования, чтобы найти производную. Правила, которые нам понадобятся, включают правило линейности и правило производной степенной функции.

1. Применим правило линейности. Возьмем производную каждого слагаемого по отдельности.
- Для первого слагаемого \(\frac{4x}{16}\) производная будет \(\frac{4}{16}\cdot\frac{d}{dx}(x) = \frac{1}{4}\)
- Для второго слагаемого \(x^2\) применим правило производной степенной функции: \(\frac{d}{dx}(x^2) = 2x\)

2. Теперь суммируем полученные производные:
\(\frac{d}{dx}(y) = \frac{1}{4} + 2x\)

Теперь перейдем к построению графика функции.

Для начала, определим область значений x, для которой будем строить график. Давайте возьмем значения от -10 до 10, чтобы увидеть, как функция ведет себя на данном интервале.

1. Вычислим значения y, подставив различные значения x из выбранного интервала в исходную функцию.

При x = -10:
\(y = \frac{4(-10)}{16} + (-10)^2 = \frac{-40}{16} + 100 = -2.5 + 100 = 97.5\)

При x = -5:
\(y = \frac{4(-5)}{16} + (-5)^2 = \frac{-20}{16} + 25 = -1.25 + 25 = 23.75\)

При x = 0:
\(y = \frac{4(0)}{16} + (0)^2 = \frac{0}{16} + 0 = 0\)

При x = 5:
\(y = \frac{4(5)}{16} + (5)^2 = \frac{20}{16} + 25 = 1.25 + 25 = 26.25\)

При x = 10:
\(y = \frac{4(10)}{16} + (10)^2 = \frac{40}{16} + 100 = 2.5 + 100 = 102.5\)

2. Построим график, используя найденные значения x и y.

Ось x будет представлена горизонтальной осью, а ось y - вертикальной осью.

На оси x отметим значения -10, -5, 0, 5 и 10. На оси y отметим значения 0, 25, 50, 75 и 100.

Соединим полученные точки на графике сглаженной линией.

Готово! Теперь у нас есть график функции \(y = \frac{4x}{16} + x^2\), и мы провели исследование данной функции с помощью методов дифференциального исчисления.