Решить треугольник (найти его неизвестные значения): А) Сторона а равна 17, угол α равен 45°, угол β равен 55°

Жанна

24

Давайте решим каждую задачу по очереди:

A) Для начала, посмотрим на данный нам треугольник. У нас есть сторона $а=17$ и углы $\alpha ={45}^{\circ }$ и $\beta ={55}^{\circ }$. Наша задача - найти остальные стороны треугольника.

Для решения этой задачи мы воспользуемся Теоремой синусов, которая гласит:

$$\frac{a}{\sin (\alpha )}=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{c}{\sin (\gamma )}$$

где $a$, $b$, $c$ - стороны треугольника, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ - соответствующие углы.

В нашем случае, у нас известны сторона $a$ и углы $\alpha$ и $\beta$. Мы можем найти сторону $b$ следующим образом:

$$b=\frac{a\cdot \sin (\beta )}{\sin (\alpha )}$$

Подставим известные значения и рассчитаем значение стороны $b$:

$$b=\frac{17\cdot \sin ({55}^{\circ })}{\sin ({45}^{\circ })}$$

После вычислений, мы получаем, что $b\approx 21,63$.

Теперь мы можем найти третью сторону $c$ при помощи Теоремы синусов:

$$c=\frac{a\cdot \sin (\gamma )}{\sin (\alpha )}=\frac{17\cdot \sin ({180}^{\circ }-\alpha -\beta )}{\sin (\alpha )}$$

Подставим известные значения и рассчитаем значение стороны $c$:

$$c=\frac{17\cdot \sin ({80}^{\circ })}{\sin ({45}^{\circ })}$$

После вычислений, мы получаем, что $c\approx 23,22$.

Итак, решив задачу, мы получаем, что сторона $b\approx 21,63$ и сторона $c\approx 23,22$.

Б) В этой задаче у нас известны сторона $a=18$, сторона $b=12$ и угол $\gamma ={50}^{\circ }$. Наша задача - найти остальные углы треугольника.

Для решения этой задачи мы воспользуемся Теоремой косинусов, которая гласит:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos (\gamma )$$

где $a$, $b$, $c$ - стороны треугольника, $\gamma$ - соответствующий угол.

В нашем случае, у нас известны стороны $a$ и $b$ и угол $\gamma$. Мы можем найти сторону $c$ следующим образом:

$$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos (\gamma )}$$

Подставим известные значения и рассчитаем значение стороны $c$:

$$c=\sqrt{{18}^2+{12}^2-2\cdot 18\cdot 12\cdot \cos ({50}^{\circ })}$$

После вычислений, мы получаем, что $c\approx 22,86$.

Теперь мы можем найти угол $\alpha$ при помощи Теоремы косинусов:

$$\cos (\alpha )=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

Подставим известные значения и рассчитаем значение угла $\alpha$:

$$\alpha =\arccos \left(\frac{{12}^2+22,{86}^2-{18}^2}{2\cdot 12\cdot 22,86}\right)$$

После вычислений, мы получаем, что $\alpha \approx 50,{70}^{\circ }$.

Теперь мы можем найти третий угол $\beta$ используя следующее соотношение:

$$\gamma +\beta +\alpha ={180}^{\circ }$$

Подставим известные значения и рассчитаем значение угла $\beta$:

$$\beta ={180}^{\circ }-\alpha -\gamma$$

После вычислений, мы получаем, что $\beta \approx 79,{30}^{\circ }$.

Итак, решив задачу, мы получаем, что сторона $c\approx 22,86$, угол $\alpha \approx 50,{70}^{\circ }$ и угол $\beta \approx 79,{30}^{\circ }$.

В) В данной задаче у нас известны сторона $a=5$, сторона $b=7,3$ и сторона $c=4,8$. Наша задача - найти углы треугольника.

Для решения этой задачи мы также воспользуемся Теоремой косинусов.

Сначала найдем угол $\alpha$ при помощи следующего соотношения:

$$\cos (\alpha )=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

Подставим известные значения и рассчитаем значение угла $\alpha$:

$$\alpha =\arccos \left(\frac{7,3^2+4,8^2-5^2}{2\cdot 7,3\cdot 4,8}\right)$$

После вычислений, мы получаем, что $\alpha \approx 109,{52}^{\circ }$.

Теперь найдем угол $\beta$ и угол $\gamma$ используя следующие соотношения:

$$\beta =\arccos \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)$$
$$\gamma ={180}^{\circ }-\alpha -\beta$$

Подставим известные значения и рассчитаем значения углов $\beta$ и $\gamma$.

После вычислений, мы получаем, что $\beta \approx 45,{17}^{\circ }$ и $\gamma \approx 25,{31}^{\circ }$.

Итак, решив задачу, мы получаем, что угол $\alpha \approx 109,{52}^{\circ }$, угол $\beta \approx 45,{17}^{\circ }$ и угол $\gamma \approx 25,{31}^{\circ }$.

Надеюсь, что решение этих задач помогло вам лучше понять методы нахождения сторон и углов треугольников при заданных данных.
Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!