Решить треугольник (найти его неизвестные значения): А) Сторона а равна 17, угол α равен 45°, угол β равен 55°

Жанна

24

Давайте решим каждую задачу по очереди:

A) Для начала, посмотрим на данный нам треугольник. У нас есть сторона \(а = 17\) и углы \(\alpha = 45^\circ\) и \(\beta = 55^\circ\). Наша задача - найти остальные стороны треугольника.

Для решения этой задачи мы воспользуемся Теоремой синусов, которая гласит:

\[
\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}
\]

где \(a\), \(b\), \(c\) - стороны треугольника, \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) - соответствующие углы.

В нашем случае, у нас известны сторона \(a\) и углы \(\alpha\) и \(\beta\). Мы можем найти сторону \(b\) следующим образом:

\[
b = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha)}
\]

Подставим известные значения и рассчитаем значение стороны \(b\):

\[
b = \frac{17 \cdot \sin(55^\circ)}{\sin(45^\circ)}
\]

После вычислений, мы получаем, что \(b \approx 21,63\).

Теперь мы можем найти третью сторону \(c\) при помощи Теоремы синусов:

\[
c = \frac{a \cdot \sin(\gamma)}{\sin(\alpha)} = \frac{17 \cdot \sin(180^\circ - \alpha - \beta)}{\sin(\alpha)}
\]

Подставим известные значения и рассчитаем значение стороны \(c\):

\[
c = \frac{17 \cdot \sin(80^\circ)}{\sin(45^\circ)}
\]

После вычислений, мы получаем, что \(c \approx 23,22\).

Итак, решив задачу, мы получаем, что сторона \(b \approx 21,63\) и сторона \(c \approx 23,22\).

Б) В этой задаче у нас известны сторона \(a = 18\), сторона \(b = 12\) и угол \(\gamma = 50^\circ\). Наша задача - найти остальные углы треугольника.

Для решения этой задачи мы воспользуемся Теоремой косинусов, которая гласит:

\[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)
\]

где \(a\), \(b\), \(c\) - стороны треугольника, \(\gamma\) - соответствующий угол.

В нашем случае, у нас известны стороны \(a\) и \(b\) и угол \(\gamma\). Мы можем найти сторону \(c\) следующим образом:

\[
c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)}
\]

Подставим известные значения и рассчитаем значение стороны \(c\):

\[
c = \sqrt{18^2 + 12^2 - 2 \cdot 18 \cdot 12 \cdot \cos(50^\circ)}
\]

После вычислений, мы получаем, что \(c \approx 22,86\).

Теперь мы можем найти угол \(\alpha\) при помощи Теоремы косинусов:

\[
\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
\]

Подставим известные значения и рассчитаем значение угла \(\alpha\):

\[
\alpha = \arccos\left(\frac{12^2 + 22,86^2 - 18^2}{2 \cdot 12 \cdot 22,86}\right)
\]

После вычислений, мы получаем, что \(\alpha \approx 50,70^\circ\).

Теперь мы можем найти третий угол \(\beta\) используя следующее соотношение:

\[
\gamma + \beta + \alpha = 180^\circ
\]

Подставим известные значения и рассчитаем значение угла \(\beta\):

\[
\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma
\]

После вычислений, мы получаем, что \(\beta \approx 79,30^\circ\).

Итак, решив задачу, мы получаем, что сторона \(c \approx 22,86\), угол \(\alpha \approx 50,70^\circ\) и угол \(\beta \approx 79,30^\circ\).

В) В данной задаче у нас известны сторона \(a = 5\), сторона \(b = 7,3\) и сторона \(c = 4,8\). Наша задача - найти углы треугольника.

Для решения этой задачи мы также воспользуемся Теоремой косинусов.

Сначала найдем угол \(\alpha\) при помощи следующего соотношения:

\[
\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
\]

Подставим известные значения и рассчитаем значение угла \(\alpha\):

\[
\alpha = \arccos\left(\frac{7,3^2 + 4,8^2 - 5^2}{2 \cdot 7,3 \cdot 4,8}\right)
\]

После вычислений, мы получаем, что \(\alpha \approx 109,52^\circ\).

Теперь найдем угол \(\beta\) и угол \(\gamma\) используя следующие соотношения:

\[
\beta = \arccos\left(\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\right)
\]
\[
\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta
\]

Подставим известные значения и рассчитаем значения углов \(\beta\) и \(\gamma\).

После вычислений, мы получаем, что \(\beta \approx 45,17^\circ\) и \(\gamma \approx 25,31^\circ\).

Итак, решив задачу, мы получаем, что угол \(\alpha \approx 109,52^\circ\), угол \(\beta \approx 45,17^\circ\) и угол \(\gamma \approx 25,31^\circ\).

Надеюсь, что решение этих задач помогло вам лучше понять методы нахождения сторон и углов треугольников при заданных данных.
Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!