Решите дифференциальное уравнение X^2dx+ydy=0 при условии, что y=1 и x=0. Ответьте правильно и детально, это очень

Радужный_День

27

Конечно, я помогу вам с решением данного дифференциального уравнения. Для начала, давайте разделим оба слагаемых на x^2, чтобы получить уравнение в более удобной форме:

\[\frac{dx}{x^2} + \frac{dy}{y} = 0\]

Теперь воспользуемся методом разделения переменных. Умножим обе части уравнения на dx, а затем на y:

\[\frac{1}{x^2} dx + \frac{1}{y} dy = 0\]

Получим:

\[\frac{dx}{x^2} = -\frac{dy}{y}\]

Теперь проинтегрируем обе части уравнения. Интеграл слева можно взять следующим образом:

\[\int{\frac{dx}{x^2}} = \int{-\frac{dy}{y}}\]

Из интеграла \(\int{\frac{dx}{x^2}}\) получим:

\[-\frac{1}{x} = -\ln{|x|} + C_1\]

Где \(C_1\) - произвольная постоянная.

Из интеграла \(\int{-\frac{dy}{y}}\) получим:

\[-\ln{|y|} = -\ln{|y|} + C_2\]

Где \(C_2\) - также произвольная постоянная.

Объединим полученные интегралы и упростим:

\[-\frac{1}{x} = \ln{|y|} + C_1\]

Используя условие \(y = 1\) и \(x = 0\), мы можем найти константы \(C_1\) и \(C_2\):

\[-\frac{1}{0} = \ln{|1|} + C_1\]

Так как \(\ln{|1|} = 0\), получаем:

\[C_1 = -\infty\]

Теперь мы можем записать окончательный ответ:

\[-\frac{1}{x} = \ln{|y|} -\infty\]

В данном случае, значение \(C_1\) получается равным минус бесконечности, что означает, что уравнение не имеет точного решения. Его решение - просто отношение между x и y.