Решите систему уравнений: 65 = x^2 + y^2, 8

Aleksandrovna

3

Хорошо, решим эту систему уравнений:

Мы имеем два уравнения:
1. \(65 = x^2 + y^2\)
2. \(8x + 5y = 15\)

Для начала, давайте решим уравнение 2 на \(x\). Выразим \(x\) через \(y\):
\[x = \frac{15 - 5y}{8}\]

Теперь подставим это значение \(x\) в первое уравнение:
\[65 = \left(\frac{15 - 5y}{8}\right)^2 + y^2\]

Распространимся и приведем уравнение к квадратному виду:
\[65 = \frac{(15 - 5y)^2}{64} + y^2\]

Умножим оба члена уравнения на 64, чтобы избавиться от дробей:
\[4160 = (15 - 5y)^2 + 64y^2\]

Раскроем квадрат в первом члене и приведем подобные члены:
\[4160 = 225 - 150y + 25y^2 + 64y^2\]

Просимо перенесем все члены в одну сторону уравнения:
\[89y^2 - 150y + 1935 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение для \(y\). Мы можем решить его с помощью квадратного трехчлена или используя формулу дискриминанта. В данной задаче используем формулу дискриминанта.

Для квадратного уравнения общего вида \(ay^2 + by + c = 0\), дискриминант равен \(\Delta = b^2 - 4ac\).

В нашем случае:
\(a = 89\), \(b = -150\), \(c = 1935\)

Рассчитаем дискриминант:
\[\Delta = (-150)^2 - 4 \cdot 89 \cdot 1935\]

\[\Delta = 22500 - 691860\]

\[\Delta = -669360\]

Так как дискриминант отрицателен (\(\Delta < 0\)), это означает, что уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, система уравнений не имеет решений.

Таким образом, ответом на данную систему уравнений является то, что решений нет.