Найдите производные функций f(x) и вычислите их значения при х=1 и х=0. a) Найдите производную функции f(x) = (3x-2)^7

Magnitnyy_Zombi

53

Давайте начнем с первого вопроса, чтобы найти производную функции \( f(x) = (3x-2)^7 \).

Шаг 1: Применим правило степенной функции, которое гласит, что производная функции вида \( x^n \) равна \( n \cdot x^{n-1} \).

Применяя это правило к нашей функции, получаем:

\[ f"(x) = 7 \cdot (3x-2)^{7-1} \]

Это эквивалентно:

\[ f"(x) = 7 \cdot (3x-2)^6 \]

Шаг 2: После нахождения производной, мы можем подставить значения \( x=1 \) и \( x=0 \) в \( f"(x) \), чтобы найти значения производной при этих точках.

\[ f"(1) = 7 \cdot (3(1)-2)^6 \]
\[ f"(1) = 7 \cdot (3-2)^6 \]
\[ f"(1) = 7 \cdot 1^6 \]
\[ f"(1) = 7 \]

\[ f"(0) = 7 \cdot (3(0)-2)^6 \]
\[ f"(0) = 7 \cdot (-2)^6 \]
\[ f"(0) = 7 \cdot 64 \]
\[ f"(0) = 448 \]

Таким образом, значение производной функции \( f(x) = (3x-2)^7 \) при \( x=1 \) равно 7, а при \( x=0 \) равно 448.

Теперь перейдем ко второму вопросу, функции \( f(x) = (6-4x)^{11} \).

Шаг 1: Применим правило степенной функции, как и в предыдущем случае:

\[ f"(x) = 11 \cdot (6-4x)^{11-1} \]

Это эквивалентно:

\[ f"(x) = 11 \cdot (6-4x)^{10} \]

Шаг 2: Подставим значения \( x=1 \) и \( x=0 \) в \( f"(x) \):

\[ f"(1) = 11 \cdot (6-4(1))^{10} \]
\[ f"(1) = 11 \cdot (6-4)^{10} \]
\[ f"(1) = 11 \cdot 2^{10} \]
\[ f"(1) = 11 \cdot 1024 \]
\[ f"(1) = 11264 \]

\[ f"(0) = 11 \cdot (6-4(0))^{10} \]
\[ f"(0) = 11 \cdot (6-0)^{10} \]
\[ f"(0) = 11 \cdot 6^{10} \]
\[ f"(0) = 11 \cdot 60466176 \]
\[ f"(0) = 665127936 \]

Таким образом, значение производной функции \( f(x) = (6-4x)^{11} \) при \( x=1 \) равно 11264, а при \( x=0 \) равно 665127936.

Для третьего вопроса, функции \( f(x) = \frac{{3x-2}}{{4x+3}} \) , мы воспользуемся правилом производной для частного функций.

Шаг 1: Применим правило для частного функций, которое гласит, что производная частного функций равна \( \frac{{f"(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g"(x)}}{{g(x)^2}} \).

Применяя это правило к нашей функции, где \( f(x) = 3x-2 \) и \( g(x) = 4x+3 \), получаем:

\[ f"(x) = \frac{{(3 \cdot (4x+3) - (3x-2) \cdot 4)}}{{(4x+3)^2}} \]

Шаг 2: Подставим \( x=1 \), чтобы найти значение производной \( f"(1) \).

\[ f"(1) = \frac{{(3 \cdot (4(1)+3) - (3(1)-2) \cdot 4)}}{{(4(1)+3)^2}} \]
\[ f"(1) = \frac{{(3 \cdot (4+3) - (3-2) \cdot 4)}}{{(4+3)^2}} \]
\[ f"(1) = \frac{{(3 \cdot 7 - 1 \cdot 4)}}{{7^2}} \]
\[ f"(1) = \frac{{21-4}}{{49}} \]
\[ f"(1) = \frac{{17}}{{49}} \]

Теперь можем подставить \( x=1 \) в исходную функцию, чтобы найти значение \( f(1) \):

\[ f(1) = \frac{{3(1)-2}}{{4(1)+3}} \]
\[ f(1) = \frac{{3-2}}{{4+3}} \]
\[ f(1) = \frac{{1}}{{7}} \]

Теперь подставим \( x=0 \), чтобы найти значения производной \( f"(0) \) и самой функции \( f(0) \):

\[ f"(0) = \frac{{(3 \cdot (4(0)+3) - (3(0)-2) \cdot 4)}}{{(4(0)+3)^2}} \]
\[ f"(0) = \frac{{(3 \cdot (3) - (-2) \cdot 4)}}{{(3)^2}} \]
\[ f"(0) = \frac{{9 + 8}}{{9}} \]
\[ f"(0) = \frac{{17}}{{9}} \]

\[ f(0) = \frac{{3(0)-2}}{{4(0)+3}} \]
\[ f(0) = \frac{{-2}}{{3}} \]

Таким образом, значение производной функции \( f(x) = \frac{{3x-2}}{{4x+3}} \) при \( x=1 \) равно \( \frac{{17}}{{49}} \), а при \( x=0 \) равно \( \frac{{17}}{{9}} \). Значение самой функции \( f(x) \) при \( x=1 \) равно \( \frac{{1}}{{7}} \), а при \( x=0 \) равно \( \frac{{-2}}{{3}} \).