Решите следующие уравнения в профессиональной форме: а) 2log0,75^2(sin x)+3 log0,75(sin x)-2=0 б) Найдите корни этого

Звонкий_Спасатель

65

Давайте решим данные уравнения пошагово.

а) Уравнение: \(2\log_{0.75}^2(\sin x) + 3\log_{0.75}(\sin x) - 2 = 0\)

Для решения данного уравнения введем замену переменной. Положим \(t = \log_{0.75}(\sin x)\). Тогда мы можем переписать уравнение следующим образом:

\(2t^2 + 3t - 2 = 0\)

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения. Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 2\), \(b = 3\), и \(c = -2\).

Вычислим дискриминант: \(D = (3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25\)

Дискриминант положительный, поэтому у нас есть два корня. Используем формулу: \(t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

Корни уравнения: \(t_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2}\)

и \(t_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 - 5}{4} = -2\)

Перейдем к исходной замене: \(\log_{0.75}(\sin x) = \frac{1}{2}\) или \(\log_{0.75}(\sin x) = -2\)

Для решения этих уравнений применим определение логарифма: \(a = \log_b(x)\) эквивалентно \(b^a = x\)

a) \(\log_{0.75}(\sin x) = \frac{1}{2}\)

Возводим обе части уравнения в степень базы логарифма:

\(0.75^{\frac{1}{2}} = \sin x\)

Вычисляем:

\(\sqrt{0.75} \approx 0.866\)

\(\sin x \approx 0.866\)

С помощью обратной функции \(sin^{-1}\) найдем \(x\):

\(x \approx \sin^{-1}(0.866) \approx 60^\circ\) (в радианах \(x \approx \frac{\pi}{3}\))

Таким образом, одним из корней уравнения является \(x = \frac{\pi}{3}\).

b) \(\log_{0.75}(\sin x) = -2\)

Возводим обе части уравнения в степень базы логарифма:

\(0.75^{-2} = \sin x\)

Вычисляем:

\(\frac{1}{0.75^2} = \sin x\)

\(\frac{1}{0.5625} \approx 1.778\)

\(\sin x \approx 1.778\)

Поскольку синусное значение не может быть больше 1, данное уравнение не имеет решений.

Таким образом, решением исходного уравнения является \(x = \frac{\pi}{3}\).

б) Теперь рассмотрим задачу о нахождении корней этого уравнения, принадлежащих отрезку \(\left(\frac{5\pi}{2}, 6\pi\right)\).

Первым шагом найдем все решения уравнения: \(2\log_{0.75}^2(\sin x) + 3\log_{0.75}(\sin x) - 2 = 0\) на интервале \((0, 6\pi)\).

Как мы уже ранее выяснили, уравнение имеет только одно решение \(x = \frac{\pi}{3}\) на этом интервале.

Теперь проверим, лежит ли это решение в заданном интервале \(\left(\frac{5\pi}{2}, 6\pi\right)\).

\(\frac{5\pi}{2} < \frac{\pi}{3} < 6\pi\)

\(\frac{15\pi}{6} < \frac{\pi}{3} < \frac{36\pi}{6}\)

\(5\pi < 6\pi < 12\pi\)

Таким образом, решение \(x = \frac{\pi}{3}\) лежит в заданном интервале \(\left(\frac{5\pi}{2}, 6\pi\right)\).

Надеюсь, это решение и пояснения были полезны для вас!