Решите уравнение cos(πx/2-27π/16)=0 с подробным разбором и несколькими вариантами решения, если таковые имеются

Алина

45

Хорошо, давайте решим данное уравнение пошагово и с подробным обоснованием для лучшего понимания.

Имеем уравнение: \(\cos\left(\frac{\pi x}{2}-\frac{27\pi}{16}\right)=0\)

Чтобы решить это уравнение, мы должны найти значения переменной \(x\), при которых косинус от указанного выражения равен нулю.

Для начала, найдем аргумент косинуса, при котором он равен нулю. Помните, что косинус равен нулю в точках, где аргумент является кратным числу \(\pi\), то есть \(\frac{27\pi}{16}+\pi n\), где \(n\) - целое число.

Теперь составим уравнение для нахождения \(x\):

\(\frac{\pi x}{2}-\frac{27\pi}{16}=\frac{27\pi}{16}+\pi n\)

Решим это уравнение для \(x\):

\(\frac{\pi x}{2}=\frac{27\pi}{16}+\pi n+\frac{27\pi}{16}\)

\(\frac{\pi x}{2}=\frac{54\pi}{16}+\pi n\)

\(\pi x= \frac{108\pi}{16}+2\pi n\)

\(x= \frac{108}{16}+2n\)

\(x= \frac{27}{4}+2n\)

Таким образом, мы получили общее решение в виде \(x= \frac{27}{4}+2n\), где \(n\) - целое число.

Теперь найдем наибольший отрицательный корень данного уравнения. Для этого возьмем наибольшее возможное отрицательное значение \(n\) и подставим его в уравнение.

Пусть \(n = -1\):

\(x= \frac{27}{4}+2(-1)\)

\(x= \frac{27}{4}-2\)

\(x= \frac{27-8}{4}\)

\(x= \frac{19}{4}\)

Таким образом, наибольший отрицательный корень данного уравнения равен \(-\frac{19}{4}\).

Проверим наше решение:

\(\cos\left(\frac{\pi (\frac{19}{4})}{2}-\frac{27\pi}{16}\right)\)

\(\cos\left(\frac{19\pi}{8}-\frac{27\pi}{16}\right)\)

\(\cos\left(\frac{38\pi - 27\pi}{16}\right)\)

\(\cos\left(\frac{11\pi}{16}\right)\)

И действительно, \(\cos\left(\frac{11\pi}{16}\right) = 0\).

Таким образом, проверка подтверждает, что наше решение \(-\frac{19}{4}\) верно.