Решите уравнения с помощью дискриминанта

Анна

65

Конечно, я помогу тебе с решением уравнений с помощью дискриминанта. Дискриминант — это число, вычисляемое по формуле \( D = b^2 - 4ac \), где \( a \), \( b \) и \( c \) — коэффициенты уравнения. Дискриминант позволяет нам определить количество и тип корней уравнения.

Для начала, рассмотрим уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \).

1. Вычисляем дискриминант:
\( D = b^2 - 4ac \)

2. Проверяем полученное значение дискриминанта:
a) Если \( D > 0 \), то уравнение имеет два различных вещественных корня. Мы можем найти их следующим образом:
\( x_1 = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{{2a}} \)
\( x_2 = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{{2a}} \)
b) Если \( D = 0 \), то уравнение имеет один вещественный корень. Мы можем найти его по формуле:
\( x = \frac{{-b}}{{2a}} \)
c) Если \( D < 0 \), то уравнение не имеет вещественных корней. Оно может иметь комплексные корни, которые записываются в виде:
\( x_1 = \frac{{-b + \sqrt{-D}}}{{2a}} \)
\( x_2 = \frac{{-b - \sqrt{-D}}}{{2a}} \)

Теперь решим несколько примеров, чтобы увидеть решение в действии.

Пример 1:
Дано уравнение: \( 2x^2 - 4x + 1 = 0 \)

1. Вычисляем дискриминант:
\( D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8 \)

2. Поскольку \( D > 0 \), уравнение имеет два различных вещественных корня.
\( x_1 = \frac{{-(-4) + \sqrt{8}}}{{2 \cdot 2}} = \frac{{4 + 2\sqrt{2}}}{{4}} = 1 + \frac{{\sqrt{2}}}{{2}} \)
\( x_2 = \frac{{-(-4) - \sqrt{8}}}{{2 \cdot 2}} = \frac{{4 - 2\sqrt{2}}}{{4}} = 1 - \frac{{\sqrt{2}}}{{2}} \)

Таким образом, корни уравнения \( 2x^2 - 4x + 1 = 0 \) равны \( x_1 = 1 + \frac{{\sqrt{2}}}{{2}} \) и \( x_2 = 1 - \frac{{\sqrt{2}}}{{2}} \).

Пример 2:
Дано уравнение: \( 3x^2 + 6x + 3 = 0 \)

1. Вычисляем дискриминант:
\( D = (6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 36 - 36 = 0 \)

2. Поскольку \( D = 0 \), уравнение имеет один вещественный корень.
\( x = \frac{{-6}}{{2 \cdot 3}} = -1 \)

Таким образом, корень уравнения \( 3x^2 + 6x + 3 = 0 \) равен \( x = -1 \).

Пример 3:
Дано уравнение: \( x^2 + 4 = 0 \)

1. Вычисляем дискриминант:
\( D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -16 \)

2. Поскольку \( D < 0 \), уравнение не имеет вещественных корней.
Корни уравнения \( x^2 + 4 = 0 \) являются комплексными числами.

Помните, что решая уравнения с помощью дискриминанта, всегда проверяйте полученные значения и применяйте финальный проверочный шаг для уверенности в правильности решения.