Reworded question: 1. Factorize the following expressions: 1) a3 + 8b3 2) x2y – 36 y3 3) -5 m2 + 10mn+5n2 4) 4ab

Magnitnyy_Magistr

69

1. Факторизация следующих выражений:
1) \(a^3 + 8b^3\)

Для начала, заметим, что данное выражение является суммой куба \(a\) и куба \(2b\). Мы можем использовать формулу суммы кубов:

\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
\]

Применяя эту формулу к исходному выражению, получаем:

\[
a^3 + 8b^3 = (a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)
\]

2) \(x^2y - 36y^3\)

В данном выражении мы можем вынести общий множитель \(y\) и применить разность двух квадратов:

\[
x^2y - 36y^3 = y(x^2 - 36y^2) = y(x + 6y)(x - 6y)
\]

3) \(-5m^2 + 10mn + 5n^2\)

Здесь также можно вынести общий множитель \(5\):

\[
-5m^2 + 10mn + 5n^2 = 5(-m^2 + 2mn + n^2) = 5(m - n)^2
\]

4) \(4ab - 28b + 8a - 56\)

В данном выражении можно провести группировку:

\[
4ab - 28b + 8a - 56 = 4b(a - 7) + 8(a - 7) = (4b + 8)(a - 7)
\]

5) \(a^4 - 81\)

Данное выражение является разностью квадрата \(a^2\) и квадрата 9, и может быть факторизовано по формуле разности квадратов:

\[
a^4 - 81 = (a^2 - 9)(a^2 + 9) = (a - 3)(a + 3)(a^2 + 9)
\]

2. Упростите выражение: \(а(а+2)(а - 2) - (а - 3)(а^2 + 3а +9)\)

Для упрощения данного выражения раскроем скобки:

\[
а(а+2)(а - 2) - (а - 3)(а^2 + 3а +9) = a(a^2 - 4)(a - 2) - (a - 3)(a^2 + 3a + 9)
\]

Затем произведем умножение в каждом слагаемом:

\[
a(a^2 - 4)(a - 2) - (a - 3)(a^2 + 3a + 9) = a(a^3 - 2a^2 - 4a + 8) - (a^3 - 3a^2 + 9a - 3a^2 - 9a + 27)
\]

Теперь выполним операции сложения и вычитания:

\[
a(a^3 - 2a^2 - 4a + 8) - (a^3 - 3a^2 + 9a - 3a^2 - 9a + 27) = a^4 - 2a^3 - 4a^2 + 8a - a^3 + 3a^2 - 9a + 3a^2 + 9a - 27
\]

Сгруппируем однотипные слагаемые:

\[
a^4 - 2a^3 - 4a^2 + 8a - a^3 + 3a^2 - 9a + 3a^2 + 9a - 27 = a^4 - 3a^3 + 7a^2 + 8a - 27
\]

Таким образом, упрощенное выражение равно \(a^4 - 3a^3 + 7a^2 + 8a - 27\).

3. Факторизация следующих выражений:
1) \(x - 3y + x^2 - 9y^2\)

Для факторизации этого выражения, мы можем группировать члены:

\[
x - 3y + x^2 - 9y^2 = (x + x^2) + (-3y - 9y^2)
\]

Теперь, проведем факторизацию каждого группы:

\[
(x + x^2) + (-3y - 9y^2) = x(1 + x) - 3y(1 + 3y^2) = x(1 + x) - 3y(1 + 3y)(1 - 3y)
\]

2) \(9m^2 + 6mn + n^2 - 25\)

В данном случае, мы можем воспользоваться формулой суммы квадратов:

\[
a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2
\]

Применим эту формулу:

\[
9m^2 + 6mn + n^2 = (3m + n)^2
\]

Таким образом, выражение \(9m^2 + 6mn + n^2 - 25\) факторизуется как \((3m + n)^2 - 5^2\).

3) \(ab^5 - b^5 - ab^3 + b^3\)

В данном случае, можно провести группировку:

\[
ab^5 - b^5 - ab^3 + b^3 = b^5(a - 1) - b^3(a - 1) = b^5(a - 1) - b^3(a - 1) = (b^5 - b^3)(a - 1)
\]

4) \(1 - x^2 + 10xy - 25y^2\)

Данное выражение является разностью квадрата \(1\) и разности квадрата \(x\) и квадрата \(5y\). Мы можем факторизовать его по формулам разности и суммы квадратов:

\[
1 - x^2 + 10xy - 25y^2 = (1 - x - 5y)(1 + x + 5y)
\]

4. Решение уравнений:
1) \(3x^3 - 12x = 0\)

Сначала, вынесем общий множитель \(3x\):

\[
3x^3 - 12x = 3x(x^2 - 4) = 3x(x - 2)(x + 2) = 0
\]

Таким образом, у нас есть несколько решений: \(x = 0\), \(x = -2\) и \(x = 2\).

2) \(49x^3 + 14x^2 + x = 0\)

Для начала, заметим, что каждый член имеет общий множитель \(x\):

\[
49x^3 + 14x^2 + x = x(49x^2 + 14x + 1) = 0
\]

Для решения данного уравнения, мы можем применить формулу дискриминанта для квадратного уравнения:

\[
ax^2 + bx + c = 0, \text{ где } D = b^2 - 4ac
\]

В нашем случае, \(a = 49\), \(b = 14\) и \(c = 1\). Вычислим дискриминант:

\[
D = 14^2 - 4 \cdot 49 \cdot 1 = 196 - 196 = 0
\]

Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень:

\[
x = \frac{-b}{2a} = \frac{-14}{2 \cdot 49} = -\frac{14}{98} = -\frac{1}{7}
\]

3) \(x^3 - 5x^2 - x + 5 = 0\)

Заметим, что \(x = 1\) является корнем этого уравнения. Проделим его на \(x - 1\):

\[
x^3 - 5x^2 - x + 5 = (x - 1)(x^2 - 4x - 5) = (x - 1)(x - 5)(x + 1) = 0
\]

Таким образом, решениями уравнения являются \(x = 1\), \(x = 5\) и \(x = -1\).

5. Докажите, что выражение \(36 + 53\) делится на \(14\).

Для доказательства, что выражение делится на \(14\), мы должны показать, что оно является кратным \(14\). Результат деления выражения на \(14\) должен быть целым числом.

Вычислим результат деления:

\[
\frac{36 + 53}{14} = \frac{89}{14} = 6 \frac{5}{14}
\]

Так как получили нецелое число при делении, можно сделать вывод, что выражение \(36 + 53\) не делится на \(14\).

6. Учитывая, что \(a - b = 6\) и \(ab = 5\), найдите значения \(a\) и \(b\).

Мы можем использовать систему уравнений для решения данной задачи. У нас есть два уравнения:

\[
\begin{align*}
a - b &= 6 \\
ab &= 5 \\
\end{align*}
\]

Способ решения:

1) Используем первое уравнение для выражения \(a\):
\(a = b + 6\)

2) Подставляем это значение \(a\) во второе уравнение:
\(b(b + 6) = 5\)

3) Разворачиваем скобку и решаем получившееся квадратное уравнение:
\(b^2 + 6b = 5\)

4) Переносим все члены уравнения на одну сторону и приводим его к квадратному виду:
\(b^2 + 6b - 5 = 0\)

5) Решаем полученное квадратное уравнение. Находим два значения \(b\):
\(b_1 = -5\) и \(b_2 = 1\).

6) Подставляем найденные значения \(b\) в первое уравнение для определения соответствующих значений \(a\):
для \(b_1 = -5\), \(a_1 = -5 + 6 = 1\) и для \(b_2 = 1\), \(a_2 = 1 + 6 = 7\).

Таким образом, имеем два решения: \(a = 1\), \(b = -5\) и \(a = 7\), \(b = 1\).