с-23. Неравенства с двумя переменными: 1. Представляют ли числа (3; -4) решение следующих неравенств: а) 5х - у

Солнце_Над_Океаном

60

1. а) Чтобы проверить, является ли число (3, -4) решением неравенства \(5x - y - 18 < 0\), нужно подставить значения переменных в неравенство и проверить его истинность. В данном случае, для x = 3 и y = -4:
\(5 \cdot 3 - (-4) - 18 < 0\)
\(15 + 4 - 18 < 0\)
\(19 - 18 < 0\)
\(1 < 0\)

Так как значение неравенства не выполняется, то число (3, -4) не является решением данного неравенства.

б) Аналогично, для неравенства \((x - 1)^2 + (y + 32) < 92\), подставим значения переменных x = 3 и y = -4:
\((3 - 1)^2 + (-4 + 32) < 92\)
\(2^2 + 28 < 92\)
\(4 + 28 < 92\)
\(32 < 92\)

Так как значение неравенства выполняется, то число (3, -4) является решением данного неравенства.

2. а) Чтобы найти произвольную пару чисел, являющуюся решением неравенства \(y < 6 - 2x\), можно выбрать какие-либо значения для переменных x и y и проверить, выполняется ли неравенство. Например, для x = 0:
\(y < 6 - 2 \cdot 0\)
\(y < 6\)

Таким образом, пара чисел (0, 5) является решением данного неравенства.

б) Аналогично, для неравенства \(y > 25 - x\), можно выбрать значения переменных и проверить, выполняется ли неравенство. Например, для x = 10:
\(y > 25 - 10\)
\(y > 15\)

Таким образом, пара чисел (15, 16) является решением данного неравенства.

3. а) Чтобы изобразить множество точек, определенное неравенством \(y > 2 - 2x + 1\), можно составить таблицу значений или нарисовать график. Заметим, что данное неравенство представляет собой неравенство прямой. Сначала построим прямую у = 2 - 2x + 1:
\(y = -2x + 3\)

Затем подсветим область над этой прямой, так как для неравенства \(y > 2 - 2x + 1\) все точки, находящиеся выше прямой, являются решениями. Получаем следующий график:

\[
\begin{array}{l}
\includegraphics[width=180px]{graph_a.png}
\end{array}
\]

б) Аналогично, чтобы изобразить множество точек, определенное неравенством \(x^2 + (y - 3) > 4\), можно составить таблицу значений или нарисовать график. Заметим, что данное неравенство представляет собой неравенство параболы. Сначала построим график у = х^2 + 3:

\[
\begin{array}{l}
\includegraphics[width=180px]{graph_b.png}
\end{array}
\]

Затем подсветим область над этой параболой, так как для неравенства \(x^2 + (y - 3) > 4\) все точки, находящиеся выше параболы, являются решениями. Получаем следующий график:

\[
\begin{array}{l}
\includegraphics[width=180px]{graph_b_highlighted.png}
\end{array}
\]

4. а) Множество точек, задаваемое неравенством \(x^2 - 2x + y > 8\), можно интерпретировать как область выше параболы. Сначала построим график уравнения \(x^2 - 2x + y = 8\):

\[
\begin{array}{l}
\includegraphics[width=180px]{graph_c_a.png}
\end{array}
\]

Затем подсветим область выше этой параболы, так как все точки, находящиеся выше параболы и не лежащие на самой параболе, являются решениями неравенства \(x^2 - 2x + y > 8\).

\[
\begin{array}{l}
\includegraphics[width=180px]{graph_c_highlighted_a.png}
\end{array}
\]

б) Аналогично, множество точек, задаваемое неравенством \(x^2 + y^2 + 6x - 8y < 11\), можно интерпретировать как область внутри окружности. Сначала приведем неравенство к стандартному виду окружности: \((x + 3)^2 + (y - 4)^2 < 16\).

Теперь построим график этой окружности:

\[
\begin{array}{l}
\includegraphics[width=180px]{graph_c_b.png}
\end{array}
\]

Затем подсветим область, находящуюся внутри окружности, так как все точки внутри окружности являются решениями неравенства \(x^2 + y^2 + 6x - 8y < 11\).

\[
\begin{array}{l}
\includegraphics[width=180px]{graph_c_highlighted_b.png}
\end{array}
\]

5. Чтобы задать неравенством с двумя переменными множество точек, можно использовать графическую интерпретацию. Например, пусть нужно задать множество точек, для которых значение y больше значения x.

Тогда неравенство будет выглядеть следующим образом: \(y > x\).

Можно нарисовать график линии \(y = x\) и подсветить область выше этой линии, так как все точки, находящиеся выше линии, будут являться решениями данного неравенства:

\[
\begin{array}{l}
\includegraphics[width=180px]{graph_d.png}
\end{array}
\]

Таким образом, неравенство \(y > x\) задает множество точек выше графика линии \(y = x\).