С объяснением. Задача 1. Пусть сторона AB равна 2√21, сторона AD равна 2√15, и сторона BC равна 12 см. Угол ∠BDC равен

Полосатик

70

Задача 1:
Для начала, найдем длину стороны AC треугольника ABC с помощью теоремы Пифагора. Известно, что сторона AB равна \(2\sqrt{21}\) и сторона BC равна 12 см. Применим теорему Пифагора:

\[
AC = \sqrt{(AB)^2 + (BC)^2}
= \sqrt{(2\sqrt{21})^2 + 12^2}
= \sqrt{84 + 144}
= \sqrt{228}
\]

Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника ABC. Чтобы найти угол между плоскостями треугольников ABC и DBC, мы можем использовать формулу косинусов для нахождения косинуса этого угла.

В треугольнике ABC, применим формулу косинусов:

\[
\cos(\angle BAC) = \frac{{(AC)^2 + (AB)^2 - (BC)^2}}{{2 \cdot AC \cdot AB}}
\]

В треугольнике DBC, применим формулу косинусов:

\[
\cos(\angle BDC) = \frac{{(BC)^2 + (CD)^2 - (BD)^2}}{{2 \cdot BC \cdot CD}}
\]

Угол между плоскостями треугольников ABC и DBC равен скалярному произведению их нормализованных векторов:

\[
\cos(\angle BAC - \angle BDC) = \cos(\angle BAC) \cdot \cos(\angle BDC) + \sin(\angle BAC) \cdot \sin(\angle BDC)
\]

Поэтому, чтобы найти угол между плоскостями треугольников ABC и DBC, нужно подставить найденные значения в формулу и выполнить несложные вычисления.

Задача 2:
У нас есть четырехугольная пирамида с высотой 3 см и одной из боковых граней, наклоненной к плоскости основания под углом 45°. Для начала, найдем длину высоты боковой грани, которая является проекцией высоты пирамиды на плоскость основания. Это можно сделать с помощью тригонометрии.

Используя теорему Пифагора, найдем длину основания пирамиды:

\[
\text{Длина основания} = \frac{{\text{Длина боковой грани}}}{{\sin(45°)}} = \frac{3}{\sin(45°)}
\]

Здесь мы используем соотношение, что высота (3 см) является катетом, а гипотенуза - длина боковой грани. Поскольку угол между высотой и основанием составляет 45°, мы используем \(\sin(45°)\) для нахождения соответствующего отношения сторон.

Таким образом, длина основания пирамиды равна:

\[
\text{Длина основания} = \frac{3}{\sin(45°)}
\]

Вычислим данное значение и округлим его до двух десятичных знаков после запятой для получения конечного ответа.