С1. а) Найдите период и частоту колебаний материальной точки, если она выполняет 300 колебаний в течение 1 минуты

Шумный_Попугай

18

а) Период колебаний (T) - время, за которое материальная точка выполняет одно полное колебание. Частота колебаний (f) - количество полных колебаний, выполняемых материальной точкой за единицу времени.

Так как указано, что материальная точка выполняет 300 колебаний в течение 1 минуты, то нам известно, что время выполнения 300 колебаний равно 1 минуте.

1 минута = 60 секунд

Тогда период колебаний (T) можно найти, разделив общее время на количество колебаний:

T = (Время выполнения колебаний) / (Количество колебаний) = 60 секунд / 300 колебаний = 0,2 секунды

Далее, частоту колебаний (f) можно найти, разделив единицу времени на период:

f = 1 / T = 1 / 0,2 секунды = 5 Гц

Ответ: период колебаний (T) равен 0,2 секунды, а частота колебаний (f) равна 5 Гц.

б) Уравнение гармонических колебаний материальной точки имеет вид:

\(x = A \cdot \sin(\omega t + \varphi)\)

Где:
x - смещение от положения равновесия,
A - амплитуда колебаний (максимальное смещение),
\(\omega\) - угловая скорость колебаний,
t - время,
\(\varphi\) - начальная фаза колебаний (угол, который соответствует начальному моменту времени t = 0).

Указано, что смещение от положения равновесия (x) на момент времени t = 0 максимальное и равно 4 см, то есть A = 4 см.

Таким образом, уравнение гармонических колебаний для данной задачи будет иметь вид:

\(x = 4 \cdot \sin(\omega t + \varphi)\)

График гармонических колебаний будет представлять собой синусоиду, где ось абсцисс (горизонтальная ось) - время (t), ось ординат (вертикальная ось) - смещение (x).

в) Ускорение материальной точки (a) является производной скорости (v) по времени (t):

\(a = \frac{{dv}}{{dt}}\)

Скорость материальной точки (v) является производной смещения (x) по времени (t):

\(v = \frac{{dx}}{{dt}}\)

Учитывая, что уравнение гармонических колебаний материальной точки имеет вид:

\(x = 4 \cdot \sin(\omega t + \varphi)\)

Мы можем найти производные смещения по времени для получения уравнений скорости и ускорения.

Производная смещения по времени (dx/dt) будет равняться произведению амплитуды колебаний (A = 4 см) на косинус угловой скорости (\(\omega\)):

\(v = \frac{{dx}}{{dt}} = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega t + \varphi)\)

Вторая производная смещения по времени (d^2x/dt^2) будет равняться произведению амплитуды колебаний (A = 4 см) на отрицательную синус угловой скорости (\(\omega\)):

\(a = \frac{{d^2x}}{{dt^2}} = -A \cdot \omega^2 \cdot \sin(\omega t + \varphi)\)

Для нахождения амплитудных значений скорости (v) и ускорения (a) необходимо принять во внимание амплитуду колебаний (A = 4 см) и угловую скорость (\(\omega\)).

Ответ: Уравнение зависимости скорости материальной точки от времени: \(v = 4 \cdot \omega \cdot \cos(\omega t + \varphi)\)
Уравнение зависимости ускорения материальной точки от времени: \(a = -4 \cdot \omega^2 \cdot \sin(\omega t + \varphi)\)
Амплитудные значения скорости и ускорения зависят от выбора амплитуды колебаний (A) и угловой скорости (\(\omega\)).